This is a live mirror of the Perl 5 development currently hosted at https://github.com/perl/perl5
7fb986354738f74f9f7b73821d5a66b78e7b1bec
[perl5.git] / lib / Math / BigFloat.pm
1 package Math::BigFloat;
2
3
4 # Mike grinned. 'Two down, infinity to go' - Mike Nostrus in 'Before and After'
5 #
6
7 # The following hash values are internally used:
8 #   _e  : exponent (ref to $CALC object)
9 #   _m  : mantissa (ref to $CALC object)
10 #   _es : sign of _e
11 # sign  : +,-,+inf,-inf, or "NaN" if not a number
12 #   _a  : accuracy
13 #   _p  : precision
14
15 $VERSION = '1.58';
16 require 5.006002;
17
18 require Exporter;
19 @ISA            = qw/Math::BigInt/;
20 @EXPORT_OK      = qw/bpi/;
21
22 use strict;
23 # $_trap_inf/$_trap_nan are internal and should never be accessed from outside
24 use vars qw/$AUTOLOAD $accuracy $precision $div_scale $round_mode $rnd_mode
25             $upgrade $downgrade $_trap_nan $_trap_inf/;
26 my $class = "Math::BigFloat";
27
28 use overload
29 '<=>'   =>      sub { my $rc = $_[2] ?
30                       ref($_[0])->bcmp($_[1],$_[0]) : 
31                       ref($_[0])->bcmp($_[0],$_[1]); 
32                       $rc = 1 unless defined $rc;
33                       $rc <=> 0;
34                 },
35 # we need '>=' to get things like "1 >= NaN" right:
36 '>='    =>      sub { my $rc = $_[2] ?
37                       ref($_[0])->bcmp($_[1],$_[0]) : 
38                       ref($_[0])->bcmp($_[0],$_[1]);
39                       # if there was a NaN involved, return false
40                       return '' unless defined $rc;
41                       $rc >= 0;
42                 },
43 'int'   =>      sub { $_[0]->as_number() },             # 'trunc' to bigint
44 ;
45
46 ##############################################################################
47 # global constants, flags and assorted stuff
48
49 # the following are public, but their usage is not recommended. Use the
50 # accessor methods instead.
51
52 # class constants, use Class->constant_name() to access
53 # one of 'even', 'odd', '+inf', '-inf', 'zero', 'trunc' or 'common'
54 $round_mode = 'even';
55 $accuracy   = undef;
56 $precision  = undef;
57 $div_scale  = 40;
58
59 $upgrade = undef;
60 $downgrade = undef;
61 # the package we are using for our private parts, defaults to:
62 # Math::BigInt->config()->{lib}
63 my $MBI = 'Math::BigInt::FastCalc';
64
65 # are NaNs ok? (otherwise it dies when encountering an NaN) set w/ config()
66 $_trap_nan = 0;
67 # the same for infinity
68 $_trap_inf = 0;
69
70 # constant for easier life
71 my $nan = 'NaN'; 
72
73 my $IMPORT = 0; # was import() called yet? used to make require work
74
75 # some digits of accuracy for blog(undef,10); which we use in blog() for speed
76 my $LOG_10 = 
77  '2.3025850929940456840179914546843642076011014886287729760333279009675726097';
78 my $LOG_10_A = length($LOG_10)-1;
79 # ditto for log(2)
80 my $LOG_2 = 
81  '0.6931471805599453094172321214581765680755001343602552541206800094933936220';
82 my $LOG_2_A = length($LOG_2)-1;
83 my $HALF = '0.5';                       # made into an object if nec.
84
85 ##############################################################################
86 # the old code had $rnd_mode, so we need to support it, too
87
88 sub TIESCALAR   { my ($class) = @_; bless \$round_mode, $class; }
89 sub FETCH       { return $round_mode; }
90 sub STORE       { $rnd_mode = $_[0]->round_mode($_[1]); }
91
92 BEGIN
93   {
94   # when someone sets $rnd_mode, we catch this and check the value to see
95   # whether it is valid or not. 
96   $rnd_mode   = 'even'; tie $rnd_mode, 'Math::BigFloat';
97
98   # we need both of them in this package:
99   *as_int = \&as_number;
100   }
101  
102 ##############################################################################
103
104 {
105   # valid method aliases for AUTOLOAD
106   my %methods = map { $_ => 1 }  
107    qw / fadd fsub fmul fdiv fround ffround fsqrt fmod fstr fsstr fpow fnorm
108         fint facmp fcmp fzero fnan finf finc fdec ffac fneg
109         fceil ffloor frsft flsft fone flog froot fexp
110       /;
111   # valid methods that can be handed up (for AUTOLOAD)
112   my %hand_ups = map { $_ => 1 }  
113    qw / is_nan is_inf is_negative is_positive is_pos is_neg
114         accuracy precision div_scale round_mode fabs fnot
115         objectify upgrade downgrade
116         bone binf bnan bzero
117         bsub
118       /;
119
120   sub _method_alias { exists $methods{$_[0]||''}; } 
121   sub _method_hand_up { exists $hand_ups{$_[0]||''}; } 
122 }
123
124 ##############################################################################
125 # constructors
126
127 sub new 
128   {
129   # create a new BigFloat object from a string or another bigfloat object. 
130   # _e: exponent
131   # _m: mantissa
132   # sign  => sign (+/-), or "NaN"
133
134   my ($class,$wanted,@r) = @_;
135
136   # avoid numify-calls by not using || on $wanted!
137   return $class->bzero() if !defined $wanted;   # default to 0
138   return $wanted->copy() if UNIVERSAL::isa($wanted,'Math::BigFloat');
139
140   $class->import() if $IMPORT == 0;             # make require work
141
142   my $self = {}; bless $self, $class;
143   # shortcut for bigints and its subclasses
144   if ((ref($wanted)) && UNIVERSAL::can( $wanted, "as_number"))
145     {
146     $self->{_m} = $wanted->as_number()->{value}; # get us a bigint copy
147     $self->{_e} = $MBI->_zero();
148     $self->{_es} = '+';
149     $self->{sign} = $wanted->sign();
150     return $self->bnorm();
151     }
152   # else: got a string or something maskerading as number (with overload)
153
154   # handle '+inf', '-inf' first
155   if ($wanted =~ /^[+-]?inf\z/)
156     {
157     return $downgrade->new($wanted) if $downgrade;
158
159     $self->{sign} = $wanted;            # set a default sign for bstr()
160     return $self->binf($wanted);
161     }
162
163   # shortcut for simple forms like '12' that neither have trailing nor leading
164   # zeros
165   if ($wanted =~ /^([+-]?)([1-9][0-9]*[1-9])$/)
166     {
167     $self->{_e} = $MBI->_zero();
168     $self->{_es} = '+';
169     $self->{sign} = $1 || '+';
170     $self->{_m} = $MBI->_new($2);
171     return $self->round(@r) if !$downgrade;
172     }
173
174   my ($mis,$miv,$mfv,$es,$ev) = Math::BigInt::_split($wanted);
175   if (!ref $mis)
176     {
177     if ($_trap_nan)
178       {
179       require Carp;
180       Carp::croak ("$wanted is not a number initialized to $class");
181       }
182     
183     return $downgrade->bnan() if $downgrade;
184     
185     $self->{_e} = $MBI->_zero();
186     $self->{_es} = '+';
187     $self->{_m} = $MBI->_zero();
188     $self->{sign} = $nan;
189     }
190   else
191     {
192     # make integer from mantissa by adjusting exp, then convert to int
193     $self->{_e} = $MBI->_new($$ev);             # exponent
194     $self->{_es} = $$es || '+';
195     my $mantissa = "$$miv$$mfv";                # create mant.
196     $mantissa =~ s/^0+(\d)/$1/;                 # strip leading zeros
197     $self->{_m} = $MBI->_new($mantissa);        # create mant.
198
199     # 3.123E0 = 3123E-3, and 3.123E-2 => 3123E-5
200     if (CORE::length($$mfv) != 0)
201       {
202       my $len = $MBI->_new( CORE::length($$mfv));
203       ($self->{_e}, $self->{_es}) =
204         _e_sub ($self->{_e}, $len, $self->{_es}, '+');
205       }
206     # we can only have trailing zeros on the mantissa if $$mfv eq ''
207     else
208       {
209       # Use a regexp to count the trailing zeros in $$miv instead of _zeros()
210       # because that is faster, especially when _m is not stored in base 10.
211       my $zeros = 0; $zeros = CORE::length($1) if $$miv =~ /[1-9](0*)$/; 
212       if ($zeros != 0)
213         {
214         my $z = $MBI->_new($zeros);
215         # turn '120e2' into '12e3'
216         $MBI->_rsft ( $self->{_m}, $z, 10);
217         ($self->{_e}, $self->{_es}) =
218           _e_add ( $self->{_e}, $z, $self->{_es}, '+');
219         }
220       }
221     $self->{sign} = $$mis;
222
223     # for something like 0Ey, set y to 1, and -0 => +0
224     # Check $$miv for being '0' and $$mfv eq '', because otherwise _m could not
225     # have become 0. That's faster than to call $MBI->_is_zero().
226     $self->{sign} = '+', $self->{_e} = $MBI->_one()
227      if $$miv eq '0' and $$mfv eq '';
228
229     return $self->round(@r) if !$downgrade;
230     }
231   # if downgrade, inf, NaN or integers go down
232
233   if ($downgrade && $self->{_es} eq '+')
234     {
235     if ($MBI->_is_zero( $self->{_e} ))
236       {
237       return $downgrade->new($$mis . $MBI->_str( $self->{_m} ));
238       }
239     return $downgrade->new($self->bsstr()); 
240     }
241   $self->bnorm()->round(@r);                    # first normalize, then round
242   }
243
244 sub copy
245   {
246   # if two arguments, the first one is the class to "swallow" subclasses
247   if (@_ > 1)
248     {
249     my  $self = bless {
250         sign => $_[1]->{sign}, 
251         _es => $_[1]->{_es}, 
252         _m => $MBI->_copy($_[1]->{_m}),
253         _e => $MBI->_copy($_[1]->{_e}),
254     }, $_[0] if @_ > 1;
255
256     $self->{_a} = $_[1]->{_a} if defined $_[1]->{_a};
257     $self->{_p} = $_[1]->{_p} if defined $_[1]->{_p};
258     return $self;
259     }
260
261   my $self = bless {
262         sign => $_[0]->{sign}, 
263         _es => $_[0]->{_es}, 
264         _m => $MBI->_copy($_[0]->{_m}),
265         _e => $MBI->_copy($_[0]->{_e}),
266         }, ref($_[0]);
267
268   $self->{_a} = $_[0]->{_a} if defined $_[0]->{_a};
269   $self->{_p} = $_[0]->{_p} if defined $_[0]->{_p};
270   $self;
271   }
272
273 sub _bnan
274   {
275   # used by parent class bone() to initialize number to NaN
276   my $self = shift;
277   
278   if ($_trap_nan)
279     {
280     require Carp;
281     my $class = ref($self);
282     Carp::croak ("Tried to set $self to NaN in $class\::_bnan()");
283     }
284
285   $IMPORT=1;                                    # call our import only once
286   $self->{_m} = $MBI->_zero();
287   $self->{_e} = $MBI->_zero();
288   $self->{_es} = '+';
289   }
290
291 sub _binf
292   {
293   # used by parent class bone() to initialize number to +-inf
294   my $self = shift;
295   
296   if ($_trap_inf)
297     {
298     require Carp;
299     my $class = ref($self);
300     Carp::croak ("Tried to set $self to +-inf in $class\::_binf()");
301     }
302
303   $IMPORT=1;                                    # call our import only once
304   $self->{_m} = $MBI->_zero();
305   $self->{_e} = $MBI->_zero();
306   $self->{_es} = '+';
307   }
308
309 sub _bone
310   {
311   # used by parent class bone() to initialize number to 1
312   my $self = shift;
313   $IMPORT=1;                                    # call our import only once
314   $self->{_m} = $MBI->_one();
315   $self->{_e} = $MBI->_zero();
316   $self->{_es} = '+';
317   }
318
319 sub _bzero
320   {
321   # used by parent class bone() to initialize number to 0
322   my $self = shift;
323   $IMPORT=1;                                    # call our import only once
324   $self->{_m} = $MBI->_zero();
325   $self->{_e} = $MBI->_one();
326   $self->{_es} = '+';
327   }
328
329 sub isa
330   {
331   my ($self,$class) = @_;
332   return if $class =~ /^Math::BigInt/;          # we aren't one of these
333   UNIVERSAL::isa($self,$class);
334   }
335
336 sub config
337   {
338   # return (later set?) configuration data as hash ref
339   my $class = shift || 'Math::BigFloat';
340
341   if (@_ == 1 && ref($_[0]) ne 'HASH')
342     {
343     my $cfg = $class->SUPER::config();
344     return $cfg->{$_[0]};
345     }
346
347   my $cfg = $class->SUPER::config(@_);
348
349   # now we need only to override the ones that are different from our parent
350   $cfg->{class} = $class;
351   $cfg->{with} = $MBI;
352   $cfg;
353   }
354
355 ##############################################################################
356 # string conversation
357
358 sub bstr 
359   {
360   # (ref to BFLOAT or num_str ) return num_str
361   # Convert number from internal format to (non-scientific) string format.
362   # internal format is always normalized (no leading zeros, "-0" => "+0")
363   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
364
365   if ($x->{sign} !~ /^[+-]$/)
366     {
367     return $x->{sign} unless $x->{sign} eq '+inf';      # -inf, NaN
368     return 'inf';                                       # +inf
369     }
370
371   my $es = '0'; my $len = 1; my $cad = 0; my $dot = '.';
372
373   # $x is zero?
374   my $not_zero = !($x->{sign} eq '+' && $MBI->_is_zero($x->{_m}));
375   if ($not_zero)
376     {
377     $es = $MBI->_str($x->{_m});
378     $len = CORE::length($es);
379     my $e = $MBI->_num($x->{_e});       
380     $e = -$e if $x->{_es} eq '-';
381     if ($e < 0)
382       {
383       $dot = '';
384       # if _e is bigger than a scalar, the following will blow your memory
385       if ($e <= -$len)
386         {
387         my $r = abs($e) - $len;
388         $es = '0.'. ('0' x $r) . $es; $cad = -($len+$r);
389         }
390       else
391         {
392         substr($es,$e,0) = '.'; $cad = $MBI->_num($x->{_e});
393         $cad = -$cad if $x->{_es} eq '-';
394         }
395       }
396     elsif ($e > 0)
397       {
398       # expand with zeros
399       $es .= '0' x $e; $len += $e; $cad = 0;
400       }
401     } # if not zero
402
403   $es = '-'.$es if $x->{sign} eq '-';
404   # if set accuracy or precision, pad with zeros on the right side
405   if ((defined $x->{_a}) && ($not_zero))
406     {
407     # 123400 => 6, 0.1234 => 4, 0.001234 => 4
408     my $zeros = $x->{_a} - $cad;                # cad == 0 => 12340
409     $zeros = $x->{_a} - $len if $cad != $len;
410     $es .= $dot.'0' x $zeros if $zeros > 0;
411     }
412   elsif ((($x->{_p} || 0) < 0))
413     {
414     # 123400 => 6, 0.1234 => 4, 0.001234 => 6
415     my $zeros = -$x->{_p} + $cad;
416     $es .= $dot.'0' x $zeros if $zeros > 0;
417     }
418   $es;
419   }
420
421 sub bsstr
422   {
423   # (ref to BFLOAT or num_str ) return num_str
424   # Convert number from internal format to scientific string format.
425   # internal format is always normalized (no leading zeros, "-0E0" => "+0E0")
426   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
427
428   if ($x->{sign} !~ /^[+-]$/)
429     {
430     return $x->{sign} unless $x->{sign} eq '+inf';      # -inf, NaN
431     return 'inf';                                       # +inf
432     }
433   my $sep = 'e'.$x->{_es};
434   my $sign = $x->{sign}; $sign = '' if $sign eq '+';
435   $sign . $MBI->_str($x->{_m}) . $sep . $MBI->_str($x->{_e});
436   }
437     
438 sub numify 
439   {
440   # Make a number from a BigFloat object
441   # simple return a string and let Perl's atoi()/atof() handle the rest
442   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
443   $x->bsstr(); 
444   }
445
446 ##############################################################################
447 # public stuff (usually prefixed with "b")
448
449 sub bneg
450   {
451   # (BINT or num_str) return BINT
452   # negate number or make a negated number from string
453   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
454
455   return $x if $x->modify('bneg');
456
457   # for +0 dont negate (to have always normalized +0). Does nothing for 'NaN'
458   $x->{sign} =~ tr/+-/-+/ unless ($x->{sign} eq '+' && $MBI->_is_zero($x->{_m}));
459   $x;
460   }
461
462 # tels 2001-08-04 
463 # XXX TODO this must be overwritten and return NaN for non-integer values
464 # band(), bior(), bxor(), too
465 #sub bnot
466 #  {
467 #  $class->SUPER::bnot($class,@_);
468 #  }
469
470 sub bcmp 
471   {
472   # Compares 2 values.  Returns one of undef, <0, =0, >0. (suitable for sort)
473
474   # set up parameters
475   my ($self,$x,$y) = (ref($_[0]),@_);
476   # objectify is costly, so avoid it
477   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
478     {
479     ($self,$x,$y) = objectify(2,@_);
480     }
481
482   return $upgrade->bcmp($x,$y) if defined $upgrade &&
483     ((!$x->isa($self)) || (!$y->isa($self)));
484
485   if (($x->{sign} !~ /^[+-]$/) || ($y->{sign} !~ /^[+-]$/))
486     {
487     # handle +-inf and NaN
488     return undef if (($x->{sign} eq $nan) || ($y->{sign} eq $nan));
489     return 0 if ($x->{sign} eq $y->{sign}) && ($x->{sign} =~ /^[+-]inf$/);
490     return +1 if $x->{sign} eq '+inf';
491     return -1 if $x->{sign} eq '-inf';
492     return -1 if $y->{sign} eq '+inf';
493     return +1;
494     }
495
496   # check sign for speed first
497   return 1 if $x->{sign} eq '+' && $y->{sign} eq '-';   # does also 0 <=> -y
498   return -1 if $x->{sign} eq '-' && $y->{sign} eq '+';  # does also -x <=> 0
499
500   # shortcut 
501   my $xz = $x->is_zero();
502   my $yz = $y->is_zero();
503   return 0 if $xz && $yz;                               # 0 <=> 0
504   return -1 if $xz && $y->{sign} eq '+';                # 0 <=> +y
505   return 1 if $yz && $x->{sign} eq '+';                 # +x <=> 0
506
507   # adjust so that exponents are equal
508   my $lxm = $MBI->_len($x->{_m});
509   my $lym = $MBI->_len($y->{_m});
510   # the numify somewhat limits our length, but makes it much faster
511   my ($xes,$yes) = (1,1);
512   $xes = -1 if $x->{_es} ne '+';
513   $yes = -1 if $y->{_es} ne '+';
514   my $lx = $lxm + $xes * $MBI->_num($x->{_e});
515   my $ly = $lym + $yes * $MBI->_num($y->{_e});
516   my $l = $lx - $ly; $l = -$l if $x->{sign} eq '-';
517   return $l <=> 0 if $l != 0;
518   
519   # lengths (corrected by exponent) are equal
520   # so make mantissa equal length by padding with zero (shift left)
521   my $diff = $lxm - $lym;
522   my $xm = $x->{_m};            # not yet copy it
523   my $ym = $y->{_m};
524   if ($diff > 0)
525     {
526     $ym = $MBI->_copy($y->{_m});
527     $ym = $MBI->_lsft($ym, $MBI->_new($diff), 10);
528     }
529   elsif ($diff < 0)
530     {
531     $xm = $MBI->_copy($x->{_m});
532     $xm = $MBI->_lsft($xm, $MBI->_new(-$diff), 10);
533     }
534   my $rc = $MBI->_acmp($xm,$ym);
535   $rc = -$rc if $x->{sign} eq '-';              # -124 < -123
536   $rc <=> 0;
537   }
538
539 sub bacmp 
540   {
541   # Compares 2 values, ignoring their signs. 
542   # Returns one of undef, <0, =0, >0. (suitable for sort)
543   
544   # set up parameters
545   my ($self,$x,$y) = (ref($_[0]),@_);
546   # objectify is costly, so avoid it
547   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
548     {
549     ($self,$x,$y) = objectify(2,@_);
550     }
551
552   return $upgrade->bacmp($x,$y) if defined $upgrade &&
553     ((!$x->isa($self)) || (!$y->isa($self)));
554
555   # handle +-inf and NaN's
556   if ($x->{sign} !~ /^[+-]$/ || $y->{sign} !~ /^[+-]$/)
557     {
558     return undef if (($x->{sign} eq $nan) || ($y->{sign} eq $nan));
559     return 0 if ($x->is_inf() && $y->is_inf());
560     return 1 if ($x->is_inf() && !$y->is_inf());
561     return -1;
562     }
563
564   # shortcut 
565   my $xz = $x->is_zero();
566   my $yz = $y->is_zero();
567   return 0 if $xz && $yz;                               # 0 <=> 0
568   return -1 if $xz && !$yz;                             # 0 <=> +y
569   return 1 if $yz && !$xz;                              # +x <=> 0
570
571   # adjust so that exponents are equal
572   my $lxm = $MBI->_len($x->{_m});
573   my $lym = $MBI->_len($y->{_m});
574   my ($xes,$yes) = (1,1);
575   $xes = -1 if $x->{_es} ne '+';
576   $yes = -1 if $y->{_es} ne '+';
577   # the numify somewhat limits our length, but makes it much faster
578   my $lx = $lxm + $xes * $MBI->_num($x->{_e});
579   my $ly = $lym + $yes * $MBI->_num($y->{_e});
580   my $l = $lx - $ly;
581   return $l <=> 0 if $l != 0;
582   
583   # lengths (corrected by exponent) are equal
584   # so make mantissa equal-length by padding with zero (shift left)
585   my $diff = $lxm - $lym;
586   my $xm = $x->{_m};            # not yet copy it
587   my $ym = $y->{_m};
588   if ($diff > 0)
589     {
590     $ym = $MBI->_copy($y->{_m});
591     $ym = $MBI->_lsft($ym, $MBI->_new($diff), 10);
592     }
593   elsif ($diff < 0)
594     {
595     $xm = $MBI->_copy($x->{_m});
596     $xm = $MBI->_lsft($xm, $MBI->_new(-$diff), 10);
597     }
598   $MBI->_acmp($xm,$ym);
599   }
600
601 sub badd 
602   {
603   # add second arg (BFLOAT or string) to first (BFLOAT) (modifies first)
604   # return result as BFLOAT
605
606   # set up parameters
607   my ($self,$x,$y,@r) = (ref($_[0]),@_);
608   # objectify is costly, so avoid it
609   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
610     {
611     ($self,$x,$y,@r) = objectify(2,@_);
612     }
613  
614   return $x if $x->modify('badd');
615
616   # inf and NaN handling
617   if (($x->{sign} !~ /^[+-]$/) || ($y->{sign} !~ /^[+-]$/))
618     {
619     # NaN first
620     return $x->bnan() if (($x->{sign} eq $nan) || ($y->{sign} eq $nan));
621     # inf handling
622     if (($x->{sign} =~ /^[+-]inf$/) && ($y->{sign} =~ /^[+-]inf$/))
623       {
624       # +inf++inf or -inf+-inf => same, rest is NaN
625       return $x if $x->{sign} eq $y->{sign};
626       return $x->bnan();
627       }
628     # +-inf + something => +inf; something +-inf => +-inf
629     $x->{sign} = $y->{sign}, return $x if $y->{sign} =~ /^[+-]inf$/;
630     return $x;
631     }
632
633   return $upgrade->badd($x,$y,@r) if defined $upgrade &&
634    ((!$x->isa($self)) || (!$y->isa($self)));
635
636   $r[3] = $y;                                           # no push!
637
638   # speed: no add for 0+y or x+0
639   return $x->bround(@r) if $y->is_zero();               # x+0
640   if ($x->is_zero())                                    # 0+y
641     {
642     # make copy, clobbering up x (modify in place!)
643     $x->{_e} = $MBI->_copy($y->{_e});
644     $x->{_es} = $y->{_es};
645     $x->{_m} = $MBI->_copy($y->{_m});
646     $x->{sign} = $y->{sign} || $nan;
647     return $x->round(@r);
648     }
649  
650   # take lower of the two e's and adapt m1 to it to match m2
651   my $e = $y->{_e};
652   $e = $MBI->_zero() if !defined $e;            # if no BFLOAT?
653   $e = $MBI->_copy($e);                         # make copy (didn't do it yet)
654
655   my $es;
656
657   ($e,$es) = _e_sub($e, $x->{_e}, $y->{_es} || '+', $x->{_es});
658
659   my $add = $MBI->_copy($y->{_m});
660
661   if ($es eq '-')                               # < 0
662     {
663     $MBI->_lsft( $x->{_m}, $e, 10);
664     ($x->{_e},$x->{_es}) = _e_add($x->{_e}, $e, $x->{_es}, $es);
665     }
666   elsif (!$MBI->_is_zero($e))                   # > 0
667     {
668     $MBI->_lsft($add, $e, 10);
669     }
670   # else: both e are the same, so just leave them
671
672   if ($x->{sign} eq $y->{sign})
673     {
674     # add
675     $x->{_m} = $MBI->_add($x->{_m}, $add);
676     }
677   else
678     {
679     ($x->{_m}, $x->{sign}) = 
680      _e_add($x->{_m}, $add, $x->{sign}, $y->{sign});
681     }
682
683   # delete trailing zeros, then round
684   $x->bnorm()->round(@r);
685   }
686
687 # sub bsub is inherited from Math::BigInt!
688
689 sub binc
690   {
691   # increment arg by one
692   my ($self,$x,@r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
693
694   return $x if $x->modify('binc');
695
696   if ($x->{_es} eq '-')
697     {
698     return $x->badd($self->bone(),@r);  #  digits after dot
699     }
700
701   if (!$MBI->_is_zero($x->{_e}))                # _e == 0 for NaN, inf, -inf
702     {
703     # 1e2 => 100, so after the shift below _m has a '0' as last digit
704     $x->{_m} = $MBI->_lsft($x->{_m}, $x->{_e},10);      # 1e2 => 100
705     $x->{_e} = $MBI->_zero();                           # normalize
706     $x->{_es} = '+';
707     # we know that the last digit of $x will be '1' or '9', depending on the
708     # sign
709     }
710   # now $x->{_e} == 0
711   if ($x->{sign} eq '+')
712     {
713     $MBI->_inc($x->{_m});
714     return $x->bnorm()->bround(@r);
715     }
716   elsif ($x->{sign} eq '-')
717     {
718     $MBI->_dec($x->{_m});
719     $x->{sign} = '+' if $MBI->_is_zero($x->{_m}); # -1 +1 => -0 => +0
720     return $x->bnorm()->bround(@r);
721     }
722   # inf, nan handling etc
723   $x->badd($self->bone(),@r);                   # badd() does round 
724   }
725
726 sub bdec
727   {
728   # decrement arg by one
729   my ($self,$x,@r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
730
731   return $x if $x->modify('bdec');
732
733   if ($x->{_es} eq '-')
734     {
735     return $x->badd($self->bone('-'),@r);       #  digits after dot
736     }
737
738   if (!$MBI->_is_zero($x->{_e}))
739     {
740     $x->{_m} = $MBI->_lsft($x->{_m}, $x->{_e},10);      # 1e2 => 100
741     $x->{_e} = $MBI->_zero();                           # normalize
742     $x->{_es} = '+';
743     }
744   # now $x->{_e} == 0
745   my $zero = $x->is_zero();
746   # <= 0
747   if (($x->{sign} eq '-') || $zero)
748     {
749     $MBI->_inc($x->{_m});
750     $x->{sign} = '-' if $zero;                          # 0 => 1 => -1
751     $x->{sign} = '+' if $MBI->_is_zero($x->{_m});       # -1 +1 => -0 => +0
752     return $x->bnorm()->round(@r);
753     }
754   # > 0
755   elsif ($x->{sign} eq '+')
756     {
757     $MBI->_dec($x->{_m});
758     return $x->bnorm()->round(@r);
759     }
760   # inf, nan handling etc
761   $x->badd($self->bone('-'),@r);                # does round
762   } 
763
764 sub DEBUG () { 0; }
765
766 sub blog
767   {
768   my ($self,$x,$base,$a,$p,$r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
769
770   return $x if $x->modify('blog');
771
772   # $base > 0, $base != 1; if $base == undef default to $base == e
773   # $x >= 0
774
775   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
776   my $fallback = 0;
777   my ($scale,@params);
778   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters($a,$p,$r);
779
780   # also takes care of the "error in _find_round_parameters?" case
781   return $x->bnan() if $x->{sign} ne '+' || $x->is_zero();
782
783   # no rounding at all, so must use fallback
784   if (scalar @params == 0)
785     {
786     # simulate old behaviour
787     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
788     $params[1] = undef;                 # P = undef
789     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
790     $params[2] = $r;                    # round mode by caller or undef
791     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
792     }
793   else
794     {
795     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
796     # enough...
797     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
798     }
799
800   return $x->bzero(@params) if $x->is_one();
801   # base not defined => base == Euler's number e
802   if (defined $base)
803     {
804     # make object, since we don't feed it through objectify() to still get the
805     # case of $base == undef
806     $base = $self->new($base) unless ref($base);
807     # $base > 0; $base != 1
808     return $x->bnan() if $base->is_zero() || $base->is_one() ||
809       $base->{sign} ne '+';
810     # if $x == $base, we know the result must be 1.0
811     if ($x->bcmp($base) == 0)
812       {
813       $x->bone('+',@params);
814       if ($fallback)
815         {
816         # clear a/p after round, since user did not request it
817         delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
818         }
819       return $x;
820       }
821     }
822
823   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
824   # disable them and later re-enable them
825   no strict 'refs';
826   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
827   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
828   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
829   # them already into account), since these would interfere, too
830   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
831   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
832   local $Math::BigInt::upgrade = undef;
833   local $Math::BigFloat::downgrade = undef;
834
835   # upgrade $x if $x is not a BigFloat (handle BigInt input)
836   # XXX TODO: rebless!
837   if (!$x->isa('Math::BigFloat'))
838     {
839     $x = Math::BigFloat->new($x);
840     $self = ref($x);
841     }
842   
843   my $done = 0;
844
845   # If the base is defined and an integer, try to calculate integer result
846   # first. This is very fast, and in case the real result was found, we can
847   # stop right here.
848   if (defined $base && $base->is_int() && $x->is_int())
849     {
850     my $i = $MBI->_copy( $x->{_m} );
851     $MBI->_lsft( $i, $x->{_e}, 10 ) unless $MBI->_is_zero($x->{_e});
852     my $int = Math::BigInt->bzero();
853     $int->{value} = $i;
854     $int->blog($base->as_number());
855     # if ($exact)
856     if ($base->as_number()->bpow($int) == $x)
857       {
858       # found result, return it
859       $x->{_m} = $int->{value};
860       $x->{_e} = $MBI->_zero();
861       $x->{_es} = '+';
862       $x->bnorm();
863       $done = 1;
864       }
865     }
866
867   if ($done == 0)
868     {
869     # base is undef, so base should be e (Euler's number), so first calculate the
870     # log to base e (using reduction by 10 (and probably 2)):
871     $self->_log_10($x,$scale);
872
873     # and if a different base was requested, convert it
874     if (defined $base)
875       {
876       $base = Math::BigFloat->new($base) unless $base->isa('Math::BigFloat');
877       # not ln, but some other base (don't modify $base)
878       $x->bdiv( $base->copy()->blog(undef,$scale), $scale );
879       }
880     }
881  
882   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
883   if (defined $params[0])
884     {
885     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
886     }
887   else
888     {
889     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
890     }
891   if ($fallback)
892     {
893     # clear a/p after round, since user did not request it
894     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
895     }
896   # restore globals
897   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
898
899   $x;
900   }
901
902 sub _len_to_steps
903   {
904   # Given D (digits in decimal), compute N so that N! (N factorial) is
905   # at least D digits long. D should be at least 50.
906   my $d = shift;
907
908   # two constants for the Ramanujan estimate of ln(N!)
909   my $lg2 = log(2 * 3.14159265) / 2;
910   my $lg10 = log(10);
911
912   # D = 50 => N => 42, so L = 40 and R = 50
913   my $l = 40; my $r = $d;
914
915   # Otherwise this does not work under -Mbignum and we do not yet have "no bignum;" :(
916   $l = $l->numify if ref($l);
917   $r = $r->numify if ref($r);
918   $lg2 = $lg2->numify if ref($lg2);
919   $lg10 = $lg10->numify if ref($lg10);
920
921   # binary search for the right value (could this be written as the reverse of lg(n!)?)
922   while ($r - $l > 1)
923     {
924     my $n = int(($r - $l) / 2) + $l;
925     my $ramanujan = 
926       int(($n * log($n) - $n + log( $n * (1 + 4*$n*(1+2*$n)) ) / 6 + $lg2) / $lg10);
927     $ramanujan > $d ? $r = $n : $l = $n;
928     }
929   $l;
930   }
931
932 sub bnok
933   {
934   # Calculate n over k (binomial coefficient or "choose" function) as integer.
935   # set up parameters
936   my ($self,$x,$y,@r) = (ref($_[0]),@_);
937
938   # objectify is costly, so avoid it
939   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
940     {
941     ($self,$x,$y,@r) = objectify(2,@_);
942     }
943
944   return $x if $x->modify('bnok');
945
946   return $x->bnan() if $x->is_nan() || $y->is_nan();
947   return $x->binf() if $x->is_inf();
948
949   my $u = $x->as_int();
950   $u->bnok($y->as_int());
951
952   $x->{_m} = $u->{value};
953   $x->{_e} = $MBI->_zero();
954   $x->{_es} = '+';
955   $x->{sign} = '+';
956   $x->bnorm(@r);
957   }
958
959 sub bexp
960   {
961   # Calculate e ** X (Euler's number to the power of X)
962   my ($self,$x,$a,$p,$r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
963
964   return $x if $x->modify('bexp');
965
966   return $x->binf() if $x->{sign} eq '+inf';
967   return $x->bzero() if $x->{sign} eq '-inf';
968
969   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
970   my $fallback = 0;
971   my ($scale,@params);
972   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters($a,$p,$r);
973
974   # also takes care of the "error in _find_round_parameters?" case
975   return $x if $x->{sign} eq 'NaN';
976
977   # no rounding at all, so must use fallback
978   if (scalar @params == 0)
979     {
980     # simulate old behaviour
981     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
982     $params[1] = undef;                 # P = undef
983     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
984     $params[2] = $r;                    # round mode by caller or undef
985     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
986     }
987   else
988     {
989     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it's not enough...
990     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
991     }
992
993   return $x->bone(@params) if $x->is_zero();
994
995   if (!$x->isa('Math::BigFloat'))
996     {
997     $x = Math::BigFloat->new($x);
998     $self = ref($x);
999     }
1000   
1001   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
1002   # disable them and later re-enable them
1003   no strict 'refs';
1004   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
1005   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
1006   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
1007   # them already into account), since these would interfere, too
1008   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
1009   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
1010   local $Math::BigInt::upgrade = undef;
1011   local $Math::BigFloat::downgrade = undef;
1012
1013   my $x_org = $x->copy();
1014
1015   # We use the following Taylor series:
1016
1017   #           x    x^2   x^3   x^4
1018   #  e = 1 + --- + --- + --- + --- ...
1019   #           1!    2!    3!    4!
1020
1021   # The difference for each term is X and N, which would result in:
1022   # 2 copy, 2 mul, 2 add, 1 inc, 1 div operations per term
1023
1024   # But it is faster to compute exp(1) and then raising it to the
1025   # given power, esp. if $x is really big and an integer because:
1026
1027   #  * The numerator is always 1, making the computation faster
1028   #  * the series converges faster in the case of x == 1
1029   #  * We can also easily check when we have reached our limit: when the
1030   #    term to be added is smaller than "1E$scale", we can stop - f.i.
1031   #    scale == 5, and we have 1/40320, then we stop since 1/40320 < 1E-5.
1032   #  * we can compute the *exact* result by simulating bigrat math:
1033
1034   #  1   1    gcd(3,4) = 1    1*24 + 1*6    5
1035   #  - + -                  = ---------- =  --                 
1036   #  6   24                      6*24       24
1037
1038   # We do not compute the gcd() here, but simple do:
1039   #  1   1    1*24 + 1*6   30
1040   #  - + -  = --------- =  --                 
1041   #  6   24       6*24     144
1042
1043   # In general:
1044   #  a   c    a*d + c*b         and note that c is always 1 and d = (b*f)
1045   #  - + -  = ---------
1046   #  b   d       b*d
1047
1048   # This leads to:         which can be reduced by b to:
1049   #  a   1     a*b*f + b    a*f + 1
1050   #  - + -   = --------- =  -------
1051   #  b   b*f     b*b*f        b*f
1052
1053   # The first terms in the series are:
1054
1055   # 1     1    1    1    1    1     1     1     13700
1056   # -- + -- + -- + -- + -- + --- + --- + ---- = -----
1057   # 1     1    2    6   24   120   720   5040   5040
1058
1059   # Note that we cannot simple reduce 13700/5040 to 685/252, but must keep A and B!
1060
1061   if ($scale <= 75)
1062     {
1063     # set $x directly from a cached string form
1064     $x->{_m} = $MBI->_new(
1065     "27182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535476");
1066     $x->{sign} = '+';
1067     $x->{_es} = '-';
1068     $x->{_e} = $MBI->_new(79);
1069     }
1070   else
1071     {
1072     # compute A and B so that e = A / B.
1073  
1074     # After some terms we end up with this, so we use it as a starting point:
1075     my $A = $MBI->_new("90933395208605785401971970164779391644753259799242");
1076     my $F = $MBI->_new(42); my $step = 42;
1077
1078     # Compute how many steps we need to take to get $A and $B sufficiently big
1079     my $steps = _len_to_steps($scale - 4);
1080 #    print STDERR "# Doing $steps steps for ", $scale-4, " digits\n";
1081     while ($step++ <= $steps)
1082       {
1083       # calculate $a * $f + 1
1084       $A = $MBI->_mul($A, $F);
1085       $A = $MBI->_inc($A);
1086       # increment f
1087       $F = $MBI->_inc($F);
1088       }
1089     # compute $B as factorial of $steps (this is faster than doing it manually)
1090     my $B = $MBI->_fac($MBI->_new($steps));
1091     
1092 #  print "A ", $MBI->_str($A), "\nB ", $MBI->_str($B), "\n";
1093
1094     # compute A/B with $scale digits in the result (truncate, not round)
1095     $A = $MBI->_lsft( $A, $MBI->_new($scale), 10);
1096     $A = $MBI->_div( $A, $B );
1097
1098     $x->{_m} = $A;
1099     $x->{sign} = '+';
1100     $x->{_es} = '-';
1101     $x->{_e} = $MBI->_new($scale);
1102     }
1103
1104   # $x contains now an estimate of e, with some surplus digits, so we can round
1105   if (!$x_org->is_one())
1106     {
1107     # raise $x to the wanted power and round it in one step:
1108     $x->bpow($x_org, @params);
1109     }
1110   else
1111     {
1112     # else just round the already computed result
1113     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
1114     # shortcut to not run through _find_round_parameters again
1115     if (defined $params[0])
1116       {
1117       $x->bround($params[0],$params[2]);                # then round accordingly
1118       }
1119     else
1120       {
1121       $x->bfround($params[1],$params[2]);               # then round accordingly
1122       }
1123     }
1124   if ($fallback)
1125     {
1126     # clear a/p after round, since user did not request it
1127     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
1128     }
1129   # restore globals
1130   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
1131
1132   $x;                                           # return modified $x
1133   }
1134
1135 sub _log
1136   {
1137   # internal log function to calculate ln() based on Taylor series.
1138   # Modifies $x in place.
1139   my ($self,$x,$scale) = @_;
1140
1141   # in case of $x == 1, result is 0
1142   return $x->bzero() if $x->is_one();
1143
1144   # XXX TODO: rewrite this in a similiar manner to bexp()
1145
1146   # http://www.efunda.com/math/taylor_series/logarithmic.cfm?search_string=log
1147
1148   # u = x-1, v = x+1
1149   #              _                               _
1150   # Taylor:     |    u    1   u^3   1   u^5       |
1151   # ln (x)  = 2 |   --- + - * --- + - * --- + ... |  x > 0
1152   #             |_   v    3   v^3   5   v^5      _|
1153
1154   # This takes much more steps to calculate the result and is thus not used
1155   # u = x-1
1156   #              _                               _
1157   # Taylor:     |    u    1   u^2   1   u^3       |
1158   # ln (x)  = 2 |   --- + - * --- + - * --- + ... |  x > 1/2
1159   #             |_   x    2   x^2   3   x^3      _|
1160
1161   my ($limit,$v,$u,$below,$factor,$two,$next,$over,$f);
1162
1163   $v = $x->copy(); $v->binc();          # v = x+1
1164   $x->bdec(); $u = $x->copy();          # u = x-1; x = x-1
1165   $x->bdiv($v,$scale);                  # first term: u/v
1166   $below = $v->copy();
1167   $over = $u->copy();
1168   $u *= $u; $v *= $v;                           # u^2, v^2
1169   $below->bmul($v);                             # u^3, v^3
1170   $over->bmul($u);
1171   $factor = $self->new(3); $f = $self->new(2);
1172
1173   my $steps = 0 if DEBUG;  
1174   $limit = $self->new("1E-". ($scale-1));
1175   while (3 < 5)
1176     {
1177     # we calculate the next term, and add it to the last
1178     # when the next term is below our limit, it won't affect the outcome
1179     # anymore, so we stop
1180
1181     # calculating the next term simple from over/below will result in quite
1182     # a time hog if the input has many digits, since over and below will
1183     # accumulate more and more digits, and the result will also have many
1184     # digits, but in the end it is rounded to $scale digits anyway. So if we
1185     # round $over and $below first, we save a lot of time for the division
1186     # (not with log(1.2345), but try log (123**123) to see what I mean. This
1187     # can introduce a rounding error if the division result would be f.i.
1188     # 0.1234500000001 and we round it to 5 digits it would become 0.12346, but
1189     # if we truncated $over and $below we might get 0.12345. Does this matter
1190     # for the end result? So we give $over and $below 4 more digits to be
1191     # on the safe side (unscientific error handling as usual... :+D
1192
1193     $next = $over->copy->bround($scale+4)->bdiv(
1194       $below->copy->bmul($factor)->bround($scale+4), 
1195       $scale);
1196
1197 ## old version:    
1198 ##    $next = $over->copy()->bdiv($below->copy()->bmul($factor),$scale);
1199
1200     last if $next->bacmp($limit) <= 0;
1201
1202     delete $next->{_a}; delete $next->{_p};
1203     $x->badd($next);
1204     # calculate things for the next term
1205     $over *= $u; $below *= $v; $factor->badd($f);
1206     if (DEBUG)
1207       {
1208       $steps++; print "step $steps = $x\n" if $steps % 10 == 0;
1209       }
1210     }
1211   print "took $steps steps\n" if DEBUG;
1212   $x->bmul($f);                                 # $x *= 2
1213   }
1214
1215 sub _log_10
1216   {
1217   # Internal log function based on reducing input to the range of 0.1 .. 9.99
1218   # and then "correcting" the result to the proper one. Modifies $x in place.
1219   my ($self,$x,$scale) = @_;
1220
1221   # Taking blog() from numbers greater than 10 takes a *very long* time, so we
1222   # break the computation down into parts based on the observation that:
1223   #  blog(X*Y) = blog(X) + blog(Y)
1224   # We set Y here to multiples of 10 so that $x becomes below 1 - the smaller
1225   # $x is the faster it gets. Since 2*$x takes about 10 times as
1226   # long, we make it faster by about a factor of 100 by dividing $x by 10.
1227
1228   # The same observation is valid for numbers smaller than 0.1, e.g. computing
1229   # log(1) is fastest, and the further away we get from 1, the longer it takes.
1230   # So we also 'break' this down by multiplying $x with 10 and subtract the
1231   # log(10) afterwards to get the correct result.
1232
1233   # To get $x even closer to 1, we also divide by 2 and then use log(2) to
1234   # correct for this. For instance if $x is 2.4, we use the formula:
1235   #  blog(2.4 * 2) == blog (1.2) + blog(2)
1236   # and thus calculate only blog(1.2) and blog(2), which is faster in total
1237   # than calculating blog(2.4).
1238
1239   # In addition, the values for blog(2) and blog(10) are cached.
1240
1241   # Calculate nr of digits before dot:
1242   my $dbd = $MBI->_num($x->{_e});
1243   $dbd = -$dbd if $x->{_es} eq '-';
1244   $dbd += $MBI->_len($x->{_m});
1245
1246   # more than one digit (e.g. at least 10), but *not* exactly 10 to avoid
1247   # infinite recursion
1248
1249   my $calc = 1;                                 # do some calculation?
1250
1251   # disable the shortcut for 10, since we need log(10) and this would recurse
1252   # infinitely deep
1253   if ($x->{_es} eq '+' && $MBI->_is_one($x->{_e}) && $MBI->_is_one($x->{_m}))
1254     {
1255     $dbd = 0;                                   # disable shortcut
1256     # we can use the cached value in these cases
1257     if ($scale <= $LOG_10_A)
1258       {
1259       $x->bzero(); $x->badd($LOG_10);           # modify $x in place
1260       $calc = 0;                                # no need to calc, but round
1261       }
1262     # if we can't use the shortcut, we continue normally
1263     }
1264   else
1265     {
1266     # disable the shortcut for 2, since we maybe have it cached
1267     if (($MBI->_is_zero($x->{_e}) && $MBI->_is_two($x->{_m})))
1268       {
1269       $dbd = 0;                                 # disable shortcut
1270       # we can use the cached value in these cases
1271       if ($scale <= $LOG_2_A)
1272         {
1273         $x->bzero(); $x->badd($LOG_2);          # modify $x in place
1274         $calc = 0;                              # no need to calc, but round
1275         }
1276       # if we can't use the shortcut, we continue normally
1277       }
1278     }
1279
1280   # if $x = 0.1, we know the result must be 0-log(10)
1281   if ($calc != 0 && $x->{_es} eq '-' && $MBI->_is_one($x->{_e}) &&
1282       $MBI->_is_one($x->{_m}))
1283     {
1284     $dbd = 0;                                   # disable shortcut
1285     # we can use the cached value in these cases
1286     if ($scale <= $LOG_10_A)
1287       {
1288       $x->bzero(); $x->bsub($LOG_10);
1289       $calc = 0;                                # no need to calc, but round
1290       }
1291     }
1292
1293   return if $calc == 0;                         # already have the result
1294
1295   # default: these correction factors are undef and thus not used
1296   my $l_10;                             # value of ln(10) to A of $scale
1297   my $l_2;                              # value of ln(2) to A of $scale
1298
1299   my $two = $self->new(2);
1300
1301   # $x == 2 => 1, $x == 13 => 2, $x == 0.1 => 0, $x == 0.01 => -1
1302   # so don't do this shortcut for 1 or 0
1303   if (($dbd > 1) || ($dbd < 0))
1304     {
1305     # convert our cached value to an object if not already (avoid doing this
1306     # at import() time, since not everybody needs this)
1307     $LOG_10 = $self->new($LOG_10,undef,undef) unless ref $LOG_10;
1308
1309     #print "x = $x, dbd = $dbd, calc = $calc\n";
1310     # got more than one digit before the dot, or more than one zero after the
1311     # dot, so do:
1312     #  log(123)    == log(1.23) + log(10) * 2
1313     #  log(0.0123) == log(1.23) - log(10) * 2
1314   
1315     if ($scale <= $LOG_10_A)
1316       {
1317       # use cached value
1318       $l_10 = $LOG_10->copy();          # copy for mul
1319       }
1320     else
1321       {
1322       # else: slower, compute and cache result
1323       # also disable downgrade for this code path
1324       local $Math::BigFloat::downgrade = undef;
1325
1326       # shorten the time to calculate log(10) based on the following:
1327       # log(1.25 * 8) = log(1.25) + log(8)
1328       #               = log(1.25) + log(2) + log(2) + log(2)
1329
1330       # first get $l_2 (and possible compute and cache log(2))
1331       $LOG_2 = $self->new($LOG_2,undef,undef) unless ref $LOG_2;
1332       if ($scale <= $LOG_2_A)
1333         {
1334         # use cached value
1335         $l_2 = $LOG_2->copy();                  # copy() for the mul below
1336         }
1337       else
1338         {
1339         # else: slower, compute and cache result
1340         $l_2 = $two->copy(); $self->_log($l_2, $scale); # scale+4, actually
1341         $LOG_2 = $l_2->copy();                  # cache the result for later
1342                                                 # the copy() is for mul below
1343         $LOG_2_A = $scale;
1344         }
1345
1346       # now calculate log(1.25):
1347       $l_10 = $self->new('1.25'); $self->_log($l_10, $scale); # scale+4, actually
1348
1349       # log(1.25) + log(2) + log(2) + log(2):
1350       $l_10->badd($l_2);
1351       $l_10->badd($l_2);
1352       $l_10->badd($l_2);
1353       $LOG_10 = $l_10->copy();          # cache the result for later
1354                                         # the copy() is for mul below
1355       $LOG_10_A = $scale;
1356       }
1357     $dbd-- if ($dbd > 1);               # 20 => dbd=2, so make it dbd=1 
1358     $l_10->bmul( $self->new($dbd));     # log(10) * (digits_before_dot-1)
1359     my $dbd_sign = '+';
1360     if ($dbd < 0)
1361       {
1362       $dbd = -$dbd;
1363       $dbd_sign = '-';
1364       }
1365     ($x->{_e}, $x->{_es}) = 
1366         _e_sub( $x->{_e}, $MBI->_new($dbd), $x->{_es}, $dbd_sign); # 123 => 1.23
1367  
1368     }
1369
1370   # Now: 0.1 <= $x < 10 (and possible correction in l_10)
1371
1372   ### Since $x in the range 0.5 .. 1.5 is MUCH faster, we do a repeated div
1373   ### or mul by 2 (maximum times 3, since x < 10 and x > 0.1)
1374
1375   $HALF = $self->new($HALF) unless ref($HALF);
1376
1377   my $twos = 0;                         # default: none (0 times)       
1378   while ($x->bacmp($HALF) <= 0)         # X <= 0.5
1379     {
1380     $twos--; $x->bmul($two);
1381     }
1382   while ($x->bacmp($two) >= 0)          # X >= 2
1383     {
1384     $twos++; $x->bdiv($two,$scale+4);           # keep all digits
1385     }
1386   # $twos > 0 => did mul 2, < 0 => did div 2 (but we never did both)
1387   # So calculate correction factor based on ln(2):
1388   if ($twos != 0)
1389     {
1390     $LOG_2 = $self->new($LOG_2,undef,undef) unless ref $LOG_2;
1391     if ($scale <= $LOG_2_A)
1392       {
1393       # use cached value
1394       $l_2 = $LOG_2->copy();                    # copy() for the mul below
1395       }
1396     else
1397       {
1398       # else: slower, compute and cache result
1399       # also disable downgrade for this code path
1400       local $Math::BigFloat::downgrade = undef;
1401       $l_2 = $two->copy(); $self->_log($l_2, $scale); # scale+4, actually
1402       $LOG_2 = $l_2->copy();                    # cache the result for later
1403                                                 # the copy() is for mul below
1404       $LOG_2_A = $scale;
1405       }
1406     $l_2->bmul($twos);          # * -2 => subtract, * 2 => add
1407     }
1408   
1409   $self->_log($x,$scale);                       # need to do the "normal" way
1410   $x->badd($l_10) if defined $l_10;             # correct it by ln(10)
1411   $x->badd($l_2) if defined $l_2;               # and maybe by ln(2)
1412
1413   # all done, $x contains now the result
1414   $x;
1415   }
1416
1417 sub blcm 
1418   { 
1419   # (BFLOAT or num_str, BFLOAT or num_str) return BFLOAT
1420   # does not modify arguments, but returns new object
1421   # Lowest Common Multiplicator
1422
1423   my ($self,@arg) = objectify(0,@_);
1424   my $x = $self->new(shift @arg);
1425   while (@arg) { $x = Math::BigInt::__lcm($x,shift @arg); } 
1426   $x;
1427   }
1428
1429 sub bgcd
1430   {
1431   # (BINT or num_str, BINT or num_str) return BINT
1432   # does not modify arguments, but returns new object
1433
1434   my $y = shift;
1435   $y = __PACKAGE__->new($y) if !ref($y);
1436   my $self = ref($y);
1437   my $x = $y->copy()->babs();                   # keep arguments
1438
1439   return $x->bnan() if $x->{sign} !~ /^[+-]$/   # x NaN?
1440         || !$x->is_int();                       # only for integers now
1441
1442   while (@_)
1443     {
1444     my $t = shift; $t = $self->new($t) if !ref($t);
1445     $y = $t->copy()->babs();
1446     
1447     return $x->bnan() if $y->{sign} !~ /^[+-]$/ # y NaN?
1448         || !$y->is_int();                       # only for integers now
1449
1450     # greatest common divisor
1451     while (! $y->is_zero())
1452       {
1453       ($x,$y) = ($y->copy(), $x->copy()->bmod($y));
1454       }
1455
1456     last if $x->is_one();
1457     }
1458   $x;
1459   }
1460
1461 ##############################################################################
1462
1463 sub _e_add
1464   {
1465   # Internal helper sub to take two positive integers and their signs and
1466   # then add them. Input ($CALC,$CALC,('+'|'-'),('+'|'-')), 
1467   # output ($CALC,('+'|'-'))
1468   my ($x,$y,$xs,$ys) = @_;
1469
1470   # if the signs are equal we can add them (-5 + -3 => -(5 + 3) => -8)
1471   if ($xs eq $ys)
1472     {
1473     $x = $MBI->_add ($x, $y );          # a+b
1474     # the sign follows $xs
1475     return ($x, $xs);
1476     }
1477
1478   my $a = $MBI->_acmp($x,$y);
1479   if ($a > 0)
1480     {
1481     $x = $MBI->_sub ($x , $y);                          # abs sub
1482     }
1483   elsif ($a == 0)
1484     {
1485     $x = $MBI->_zero();                                 # result is 0
1486     $xs = '+';
1487     }
1488   else # a < 0
1489     {
1490     $x = $MBI->_sub ( $y, $x, 1 );                      # abs sub
1491     $xs = $ys;
1492     }
1493   ($x,$xs);
1494   }
1495
1496 sub _e_sub
1497   {
1498   # Internal helper sub to take two positive integers and their signs and
1499   # then subtract them. Input ($CALC,$CALC,('+'|'-'),('+'|'-')), 
1500   # output ($CALC,('+'|'-'))
1501   my ($x,$y,$xs,$ys) = @_;
1502
1503   # flip sign
1504   $ys =~ tr/+-/-+/;
1505   _e_add($x,$y,$xs,$ys);                # call add (does subtract now)
1506   }
1507
1508 ###############################################################################
1509 # is_foo methods (is_negative, is_positive are inherited from BigInt)
1510
1511 sub is_int
1512   {
1513   # return true if arg (BFLOAT or num_str) is an integer
1514   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
1515
1516   (($x->{sign} =~ /^[+-]$/) &&                  # NaN and +-inf aren't
1517    ($x->{_es} eq '+')) ? 1 : 0;                 # 1e-1 => no integer
1518   }
1519
1520 sub is_zero
1521   {
1522   # return true if arg (BFLOAT or num_str) is zero
1523   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
1524
1525   ($x->{sign} eq '+' && $MBI->_is_zero($x->{_m})) ? 1 : 0;
1526   }
1527
1528 sub is_one
1529   {
1530   # return true if arg (BFLOAT or num_str) is +1 or -1 if signis given
1531   my ($self,$x,$sign) = ref($_[0]) ? (undef,@_) : objectify(1,@_);
1532
1533   $sign = '+' if !defined $sign || $sign ne '-';
1534
1535   ($x->{sign} eq $sign && 
1536    $MBI->_is_zero($x->{_e}) &&
1537    $MBI->_is_one($x->{_m}) ) ? 1 : 0; 
1538   }
1539
1540 sub is_odd
1541   {
1542   # return true if arg (BFLOAT or num_str) is odd or false if even
1543   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
1544   
1545   (($x->{sign} =~ /^[+-]$/) &&          # NaN & +-inf aren't
1546    ($MBI->_is_zero($x->{_e})) &&
1547    ($MBI->_is_odd($x->{_m}))) ? 1 : 0; 
1548   }
1549
1550 sub is_even
1551   {
1552   # return true if arg (BINT or num_str) is even or false if odd
1553   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
1554
1555   (($x->{sign} =~ /^[+-]$/) &&                  # NaN & +-inf aren't
1556    ($x->{_es} eq '+') &&                        # 123.45 isn't
1557    ($MBI->_is_even($x->{_m}))) ? 1 : 0;         # but 1200 is
1558   }
1559
1560 sub bmul
1561   { 
1562   # multiply two numbers
1563   
1564   # set up parameters
1565   my ($self,$x,$y,@r) = (ref($_[0]),@_);
1566   # objectify is costly, so avoid it
1567   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
1568     {
1569     ($self,$x,$y,@r) = objectify(2,@_);
1570     }
1571
1572   return $x if $x->modify('bmul');
1573
1574   return $x->bnan() if (($x->{sign} eq $nan) || ($y->{sign} eq $nan));
1575
1576   # inf handling
1577   if (($x->{sign} =~ /^[+-]inf$/) || ($y->{sign} =~ /^[+-]inf$/))
1578     {
1579     return $x->bnan() if $x->is_zero() || $y->is_zero(); 
1580     # result will always be +-inf:
1581     # +inf * +/+inf => +inf, -inf * -/-inf => +inf
1582     # +inf * -/-inf => -inf, -inf * +/+inf => -inf
1583     return $x->binf() if ($x->{sign} =~ /^\+/ && $y->{sign} =~ /^\+/);
1584     return $x->binf() if ($x->{sign} =~ /^-/ && $y->{sign} =~ /^-/);
1585     return $x->binf('-');
1586     }
1587   
1588   return $upgrade->bmul($x,$y,@r) if defined $upgrade &&
1589    ((!$x->isa($self)) || (!$y->isa($self)));
1590
1591   # aEb * cEd = (a*c)E(b+d)
1592   $MBI->_mul($x->{_m},$y->{_m});
1593   ($x->{_e}, $x->{_es}) = _e_add($x->{_e}, $y->{_e}, $x->{_es}, $y->{_es});
1594
1595   $r[3] = $y;                           # no push!
1596
1597   # adjust sign:
1598   $x->{sign} = $x->{sign} ne $y->{sign} ? '-' : '+';
1599   $x->bnorm->round(@r);
1600   }
1601
1602 sub bmuladd
1603   { 
1604   # multiply two numbers and add the third to the result
1605   
1606   # set up parameters
1607   my ($self,$x,$y,$z,@r) = (ref($_[0]),@_);
1608   # objectify is costly, so avoid it
1609   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
1610     {
1611     ($self,$x,$y,$z,@r) = objectify(3,@_);
1612     }
1613
1614   return $x if $x->modify('bmuladd');
1615
1616   return $x->bnan() if (($x->{sign} eq $nan) ||
1617                         ($y->{sign} eq $nan) ||
1618                         ($z->{sign} eq $nan));
1619
1620   # inf handling
1621   if (($x->{sign} =~ /^[+-]inf$/) || ($y->{sign} =~ /^[+-]inf$/))
1622     {
1623     return $x->bnan() if $x->is_zero() || $y->is_zero(); 
1624     # result will always be +-inf:
1625     # +inf * +/+inf => +inf, -inf * -/-inf => +inf
1626     # +inf * -/-inf => -inf, -inf * +/+inf => -inf
1627     return $x->binf() if ($x->{sign} =~ /^\+/ && $y->{sign} =~ /^\+/);
1628     return $x->binf() if ($x->{sign} =~ /^-/ && $y->{sign} =~ /^-/);
1629     return $x->binf('-');
1630     }
1631
1632   return $upgrade->bmul($x,$y,@r) if defined $upgrade &&
1633    ((!$x->isa($self)) || (!$y->isa($self)));
1634
1635   # aEb * cEd = (a*c)E(b+d)
1636   $MBI->_mul($x->{_m},$y->{_m});
1637   ($x->{_e}, $x->{_es}) = _e_add($x->{_e}, $y->{_e}, $x->{_es}, $y->{_es});
1638
1639   $r[3] = $y;                           # no push!
1640
1641   # adjust sign:
1642   $x->{sign} = $x->{sign} ne $y->{sign} ? '-' : '+';
1643
1644   # z=inf handling (z=NaN handled above)
1645   $x->{sign} = $z->{sign}, return $x if $z->{sign} =~ /^[+-]inf$/;
1646
1647   # take lower of the two e's and adapt m1 to it to match m2
1648   my $e = $z->{_e};
1649   $e = $MBI->_zero() if !defined $e;            # if no BFLOAT?
1650   $e = $MBI->_copy($e);                         # make copy (didn't do it yet)
1651
1652   my $es;
1653
1654   ($e,$es) = _e_sub($e, $x->{_e}, $z->{_es} || '+', $x->{_es});
1655
1656   my $add = $MBI->_copy($z->{_m});
1657
1658   if ($es eq '-')                               # < 0
1659     {
1660     $MBI->_lsft( $x->{_m}, $e, 10);
1661     ($x->{_e},$x->{_es}) = _e_add($x->{_e}, $e, $x->{_es}, $es);
1662     }
1663   elsif (!$MBI->_is_zero($e))                   # > 0
1664     {
1665     $MBI->_lsft($add, $e, 10);
1666     }
1667   # else: both e are the same, so just leave them
1668
1669   if ($x->{sign} eq $z->{sign})
1670     {
1671     # add
1672     $x->{_m} = $MBI->_add($x->{_m}, $add);
1673     }
1674   else
1675     {
1676     ($x->{_m}, $x->{sign}) = 
1677      _e_add($x->{_m}, $add, $x->{sign}, $z->{sign});
1678     }
1679
1680   # delete trailing zeros, then round
1681   $x->bnorm()->round(@r);
1682   }
1683
1684 sub bdiv 
1685   {
1686   # (dividend: BFLOAT or num_str, divisor: BFLOAT or num_str) return 
1687   # (BFLOAT,BFLOAT) (quo,rem) or BFLOAT (only rem)
1688
1689   # set up parameters
1690   my ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = (ref($_[0]),@_);
1691   # objectify is costly, so avoid it
1692   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
1693     {
1694     ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = objectify(2,@_);
1695     }
1696
1697   return $x if $x->modify('bdiv');
1698
1699   return $self->_div_inf($x,$y)
1700    if (($x->{sign} !~ /^[+-]$/) || ($y->{sign} !~ /^[+-]$/) || $y->is_zero());
1701
1702   # x== 0 # also: or y == 1 or y == -1
1703   return wantarray ? ($x,$self->bzero()) : $x if $x->is_zero();
1704
1705   # upgrade ?
1706   return $upgrade->bdiv($upgrade->new($x),$y,$a,$p,$r) if defined $upgrade;
1707
1708   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
1709   my $fallback = 0;
1710   my (@params,$scale);
1711   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters($a,$p,$r,$y);
1712
1713   return $x if $x->is_nan();            # error in _find_round_parameters?
1714
1715   # no rounding at all, so must use fallback
1716   if (scalar @params == 0)
1717     {
1718     # simulate old behaviour
1719     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
1720     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
1721     $params[2] = $r;                    # round mode by caller or undef
1722     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
1723     }
1724   else
1725     {
1726     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
1727     # enough...
1728     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
1729     }
1730
1731   my $rem; $rem = $self->bzero() if wantarray;
1732
1733   $y = $self->new($y) unless $y->isa('Math::BigFloat');
1734
1735   my $lx = $MBI->_len($x->{_m}); my $ly = $MBI->_len($y->{_m});
1736   $scale = $lx if $lx > $scale;
1737   $scale = $ly if $ly > $scale;
1738   my $diff = $ly - $lx;
1739   $scale += $diff if $diff > 0;         # if lx << ly, but not if ly << lx!
1740
1741   # already handled inf/NaN/-inf above:
1742
1743   # check that $y is not 1 nor -1 and cache the result:
1744   my $y_not_one = !($MBI->_is_zero($y->{_e}) && $MBI->_is_one($y->{_m}));
1745
1746   # flipping the sign of $y will also flip the sign of $x for the special
1747   # case of $x->bsub($x); so we can catch it below:
1748   my $xsign = $x->{sign};
1749   $y->{sign} =~ tr/+-/-+/;
1750
1751   if ($xsign ne $x->{sign})
1752     {
1753     # special case of $x /= $x results in 1
1754     $x->bone();                 # "fixes" also sign of $y, since $x is $y
1755     }
1756   else
1757     {
1758     # correct $y's sign again
1759     $y->{sign} =~ tr/+-/-+/;
1760     # continue with normal div code:
1761
1762     # make copy of $x in case of list context for later reminder calculation
1763     if (wantarray && $y_not_one)
1764       {
1765       $rem = $x->copy();
1766       }
1767
1768     $x->{sign} = $x->{sign} ne $y->sign() ? '-' : '+'; 
1769
1770     # check for / +-1 ( +/- 1E0)
1771     if ($y_not_one)
1772       {
1773       # promote BigInts and it's subclasses (except when already a BigFloat)
1774       $y = $self->new($y) unless $y->isa('Math::BigFloat'); 
1775
1776       # calculate the result to $scale digits and then round it
1777       # a * 10 ** b / c * 10 ** d => a/c * 10 ** (b-d)
1778       $MBI->_lsft($x->{_m},$MBI->_new($scale),10);
1779       $MBI->_div ($x->{_m},$y->{_m});   # a/c
1780
1781       # correct exponent of $x
1782       ($x->{_e},$x->{_es}) = _e_sub($x->{_e}, $y->{_e}, $x->{_es}, $y->{_es});
1783       # correct for 10**scale
1784       ($x->{_e},$x->{_es}) = _e_sub($x->{_e}, $MBI->_new($scale), $x->{_es}, '+');
1785       $x->bnorm();              # remove trailing 0's
1786       }
1787     } # ende else $x != $y
1788
1789   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
1790   if (defined $params[0])
1791     {
1792     delete $x->{_a};                            # clear before round
1793     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
1794     }
1795   else
1796     {
1797     delete $x->{_p};                            # clear before round
1798     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
1799     }
1800   if ($fallback)
1801     {
1802     # clear a/p after round, since user did not request it
1803     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
1804     }
1805
1806   if (wantarray)
1807     {
1808     if ($y_not_one)
1809       {
1810       $rem->bmod($y,@params);                   # copy already done
1811       }
1812     if ($fallback)
1813       {
1814       # clear a/p after round, since user did not request it
1815       delete $rem->{_a}; delete $rem->{_p};
1816       }
1817     return ($x,$rem);
1818     }
1819   $x;
1820   }
1821
1822 sub bmod 
1823   {
1824   # (dividend: BFLOAT or num_str, divisor: BFLOAT or num_str) return reminder 
1825
1826   # set up parameters
1827   my ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = (ref($_[0]),@_);
1828   # objectify is costly, so avoid it
1829   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
1830     {
1831     ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = objectify(2,@_);
1832     }
1833
1834   return $x if $x->modify('bmod');
1835
1836   # handle NaN, inf, -inf
1837   if (($x->{sign} !~ /^[+-]$/) || ($y->{sign} !~ /^[+-]$/))
1838     {
1839     my ($d,$re) = $self->SUPER::_div_inf($x,$y);
1840     $x->{sign} = $re->{sign};
1841     $x->{_e} = $re->{_e};
1842     $x->{_m} = $re->{_m};
1843     return $x->round($a,$p,$r,$y);
1844     } 
1845   if ($y->is_zero())
1846     {
1847     return $x->bnan() if $x->is_zero();
1848     return $x;
1849     }
1850
1851   return $x->bzero() if $x->is_zero()
1852  || ($x->is_int() &&
1853   # check that $y == +1 or $y == -1:
1854     ($MBI->_is_zero($y->{_e}) && $MBI->_is_one($y->{_m})));
1855
1856   my $cmp = $x->bacmp($y);                      # equal or $x < $y?
1857   return $x->bzero($a,$p) if $cmp == 0;         # $x == $y => result 0
1858
1859   # only $y of the operands negative? 
1860   my $neg = 0; $neg = 1 if $x->{sign} ne $y->{sign};
1861
1862   $x->{sign} = $y->{sign};                              # calc sign first
1863   return $x->round($a,$p,$r) if $cmp < 0 && $neg == 0;  # $x < $y => result $x
1864   
1865   my $ym = $MBI->_copy($y->{_m});
1866   
1867   # 2e1 => 20
1868   $MBI->_lsft( $ym, $y->{_e}, 10) 
1869    if $y->{_es} eq '+' && !$MBI->_is_zero($y->{_e});
1870  
1871   # if $y has digits after dot
1872   my $shifty = 0;                       # correct _e of $x by this
1873   if ($y->{_es} eq '-')                 # has digits after dot
1874     {
1875     # 123 % 2.5 => 1230 % 25 => 5 => 0.5
1876     $shifty = $MBI->_num($y->{_e});     # no more digits after dot
1877     $MBI->_lsft($x->{_m}, $y->{_e}, 10);# 123 => 1230, $y->{_m} is already 25
1878     }
1879   # $ym is now mantissa of $y based on exponent 0
1880
1881   my $shiftx = 0;                       # correct _e of $x by this
1882   if ($x->{_es} eq '-')                 # has digits after dot
1883     {
1884     # 123.4 % 20 => 1234 % 200
1885     $shiftx = $MBI->_num($x->{_e});     # no more digits after dot
1886     $MBI->_lsft($ym, $x->{_e}, 10);     # 123 => 1230
1887     }
1888   # 123e1 % 20 => 1230 % 20
1889   if ($x->{_es} eq '+' && !$MBI->_is_zero($x->{_e}))
1890     {
1891     $MBI->_lsft( $x->{_m}, $x->{_e},10);        # es => '+' here
1892     }
1893
1894   $x->{_e} = $MBI->_new($shiftx);
1895   $x->{_es} = '+'; 
1896   $x->{_es} = '-' if $shiftx != 0 || $shifty != 0;
1897   $MBI->_add( $x->{_e}, $MBI->_new($shifty)) if $shifty != 0;
1898   
1899   # now mantissas are equalized, exponent of $x is adjusted, so calc result
1900
1901   $x->{_m} = $MBI->_mod( $x->{_m}, $ym);
1902
1903   $x->{sign} = '+' if $MBI->_is_zero($x->{_m});         # fix sign for -0
1904   $x->bnorm();
1905
1906   if ($neg != 0)        # one of them negative => correct in place
1907     {
1908     my $r = $y - $x;
1909     $x->{_m} = $r->{_m};
1910     $x->{_e} = $r->{_e};
1911     $x->{_es} = $r->{_es};
1912     $x->{sign} = '+' if $MBI->_is_zero($x->{_m});       # fix sign for -0
1913     $x->bnorm();
1914     }
1915
1916   $x->round($a,$p,$r,$y);       # round and return
1917   }
1918
1919 sub broot
1920   {
1921   # calculate $y'th root of $x
1922   
1923   # set up parameters
1924   my ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = (ref($_[0]),@_);
1925   # objectify is costly, so avoid it
1926   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
1927     {
1928     ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = objectify(2,@_);
1929     }
1930
1931   return $x if $x->modify('broot');
1932
1933   # NaN handling: $x ** 1/0, x or y NaN, or y inf/-inf or y == 0
1934   return $x->bnan() if $x->{sign} !~ /^\+/ || $y->is_zero() ||
1935          $y->{sign} !~ /^\+$/;
1936
1937   return $x if $x->is_zero() || $x->is_one() || $x->is_inf() || $y->is_one();
1938   
1939   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
1940   my $fallback = 0;
1941   my (@params,$scale);
1942   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters($a,$p,$r);
1943
1944   return $x if $x->is_nan();            # error in _find_round_parameters?
1945
1946   # no rounding at all, so must use fallback
1947   if (scalar @params == 0) 
1948     {
1949     # simulate old behaviour
1950     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
1951     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
1952     $params[2] = $r;                    # iound mode by caller or undef
1953     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
1954     }
1955   else
1956     {
1957     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
1958     # enough...
1959     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
1960     }
1961
1962   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
1963   # disable them and later re-enable them
1964   no strict 'refs';
1965   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
1966   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
1967   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
1968   # them already into account), since these would interfere, too
1969   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
1970   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
1971   local $Math::BigInt::upgrade = undef; # should be really parent class vs MBI
1972
1973   # remember sign and make $x positive, since -4 ** (1/2) => -2
1974   my $sign = 0; $sign = 1 if $x->{sign} eq '-'; $x->{sign} = '+';
1975
1976   my $is_two = 0;
1977   if ($y->isa('Math::BigFloat'))
1978     {
1979     $is_two = ($y->{sign} eq '+' && $MBI->_is_two($y->{_m}) && $MBI->_is_zero($y->{_e}));
1980     }
1981   else
1982     {
1983     $is_two = ($y == 2);
1984     }
1985
1986   # normal square root if $y == 2:
1987   if ($is_two)
1988     {
1989     $x->bsqrt($scale+4);
1990     }
1991   elsif ($y->is_one('-'))
1992     {
1993     # $x ** -1 => 1/$x
1994     my $u = $self->bone()->bdiv($x,$scale);
1995     # copy private parts over
1996     $x->{_m} = $u->{_m};
1997     $x->{_e} = $u->{_e};
1998     $x->{_es} = $u->{_es};
1999     }
2000   else
2001     {
2002     # calculate the broot() as integer result first, and if it fits, return
2003     # it rightaway (but only if $x and $y are integer):
2004
2005     my $done = 0;                               # not yet
2006     if ($y->is_int() && $x->is_int())
2007       {
2008       my $i = $MBI->_copy( $x->{_m} );
2009       $MBI->_lsft( $i, $x->{_e}, 10 ) unless $MBI->_is_zero($x->{_e});
2010       my $int = Math::BigInt->bzero();
2011       $int->{value} = $i;
2012       $int->broot($y->as_number());
2013       # if ($exact)
2014       if ($int->copy()->bpow($y) == $x)
2015         {
2016         # found result, return it
2017         $x->{_m} = $int->{value};
2018         $x->{_e} = $MBI->_zero();
2019         $x->{_es} = '+';
2020         $x->bnorm();
2021         $done = 1;
2022         }
2023       }
2024     if ($done == 0)
2025       {
2026       my $u = $self->bone()->bdiv($y,$scale+4);
2027       delete $u->{_a}; delete $u->{_p};         # otherwise it conflicts
2028       $x->bpow($u,$scale+4);                    # el cheapo
2029       }
2030     }
2031   $x->bneg() if $sign == 1;
2032   
2033   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
2034   if (defined $params[0])
2035     {
2036     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
2037     }
2038   else
2039     {
2040     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
2041     }
2042   if ($fallback)
2043     {
2044     # clear a/p after round, since user did not request it
2045     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2046     }
2047   # restore globals
2048   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
2049   $x;
2050   }
2051
2052 sub bsqrt
2053   { 
2054   # calculate square root
2055   my ($self,$x,$a,$p,$r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
2056
2057   return $x if $x->modify('bsqrt');
2058
2059   return $x->bnan() if $x->{sign} !~ /^[+]/;    # NaN, -inf or < 0
2060   return $x if $x->{sign} eq '+inf';            # sqrt(inf) == inf
2061   return $x->round($a,$p,$r) if $x->is_zero() || $x->is_one();
2062
2063   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
2064   my $fallback = 0;
2065   my (@params,$scale);
2066   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters($a,$p,$r);
2067
2068   return $x if $x->is_nan();            # error in _find_round_parameters?
2069
2070   # no rounding at all, so must use fallback
2071   if (scalar @params == 0) 
2072     {
2073     # simulate old behaviour
2074     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
2075     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
2076     $params[2] = $r;                    # round mode by caller or undef
2077     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
2078     }
2079   else
2080     {
2081     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
2082     # enough...
2083     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
2084     }
2085
2086   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
2087   # disable them and later re-enable them
2088   no strict 'refs';
2089   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
2090   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
2091   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
2092   # them already into account), since these would interfere, too
2093   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2094   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
2095   local $Math::BigInt::upgrade = undef; # should be really parent class vs MBI
2096
2097   my $i = $MBI->_copy( $x->{_m} );
2098   $MBI->_lsft( $i, $x->{_e}, 10 ) unless $MBI->_is_zero($x->{_e});
2099   my $xas = Math::BigInt->bzero();
2100   $xas->{value} = $i;
2101
2102   my $gs = $xas->copy()->bsqrt();       # some guess
2103
2104   if (($x->{_es} ne '-')                # guess can't be accurate if there are
2105                                         # digits after the dot
2106    && ($xas->bacmp($gs * $gs) == 0))    # guess hit the nail on the head?
2107     {
2108     # exact result, copy result over to keep $x
2109     $x->{_m} = $gs->{value}; $x->{_e} = $MBI->_zero(); $x->{_es} = '+';
2110     $x->bnorm();
2111     # shortcut to not run through _find_round_parameters again
2112     if (defined $params[0])
2113       {
2114       $x->bround($params[0],$params[2]);        # then round accordingly
2115       }
2116     else
2117       {
2118       $x->bfround($params[1],$params[2]);       # then round accordingly
2119       }
2120     if ($fallback)
2121       {
2122       # clear a/p after round, since user did not request it
2123       delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2124       }
2125     # re-enable A and P, upgrade is taken care of by "local"
2126     ${"$self\::accuracy"} = $ab; ${"$self\::precision"} = $pb;
2127     return $x;
2128     }
2129  
2130   # sqrt(2) = 1.4 because sqrt(2*100) = 1.4*10; so we can increase the accuracy
2131   # of the result by multipyling the input by 100 and then divide the integer
2132   # result of sqrt(input) by 10. Rounding afterwards returns the real result.
2133
2134   # The following steps will transform 123.456 (in $x) into 123456 (in $y1)
2135   my $y1 = $MBI->_copy($x->{_m});
2136
2137   my $length = $MBI->_len($y1);
2138   
2139   # Now calculate how many digits the result of sqrt(y1) would have
2140   my $digits = int($length / 2);
2141
2142   # But we need at least $scale digits, so calculate how many are missing
2143   my $shift = $scale - $digits;
2144
2145   # That should never happen (we take care of integer guesses above)
2146   # $shift = 0 if $shift < 0; 
2147
2148   # Multiply in steps of 100, by shifting left two times the "missing" digits
2149   my $s2 = $shift * 2;
2150
2151   # We now make sure that $y1 has the same odd or even number of digits than
2152   # $x had. So when _e of $x is odd, we must shift $y1 by one digit left,
2153   # because we always must multiply by steps of 100 (sqrt(100) is 10) and not
2154   # steps of 10. The length of $x does not count, since an even or odd number
2155   # of digits before the dot is not changed by adding an even number of digits
2156   # after the dot (the result is still odd or even digits long).
2157   $s2++ if $MBI->_is_odd($x->{_e});
2158
2159   $MBI->_lsft( $y1, $MBI->_new($s2), 10);
2160
2161   # now take the square root and truncate to integer
2162   $y1 = $MBI->_sqrt($y1);
2163
2164   # By "shifting" $y1 right (by creating a negative _e) we calculate the final
2165   # result, which is than later rounded to the desired scale.
2166
2167   # calculate how many zeros $x had after the '.' (or before it, depending
2168   # on sign of $dat, the result should have half as many:
2169   my $dat = $MBI->_num($x->{_e});
2170   $dat = -$dat if $x->{_es} eq '-';
2171   $dat += $length;
2172
2173   if ($dat > 0)
2174     {
2175     # no zeros after the dot (e.g. 1.23, 0.49 etc)
2176     # preserve half as many digits before the dot than the input had 
2177     # (but round this "up")
2178     $dat = int(($dat+1)/2);
2179     }
2180   else
2181     {
2182     $dat = int(($dat)/2);
2183     }
2184   $dat -= $MBI->_len($y1);
2185   if ($dat < 0)
2186     {
2187     $dat = abs($dat);
2188     $x->{_e} = $MBI->_new( $dat );
2189     $x->{_es} = '-';
2190     }
2191   else
2192     {    
2193     $x->{_e} = $MBI->_new( $dat );
2194     $x->{_es} = '+';
2195     }
2196   $x->{_m} = $y1;
2197   $x->bnorm();
2198
2199   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
2200   if (defined $params[0])
2201     {
2202     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
2203     }
2204   else
2205     {
2206     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
2207     }
2208   if ($fallback)
2209     {
2210     # clear a/p after round, since user did not request it
2211     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2212     }
2213   # restore globals
2214   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
2215   $x;
2216   }
2217
2218 sub bfac
2219   {
2220   # (BFLOAT or num_str, BFLOAT or num_str) return BFLOAT
2221   # compute factorial number, modifies first argument
2222
2223   # set up parameters
2224   my ($self,$x,@r) = (ref($_[0]),@_);
2225   # objectify is costly, so avoid it
2226   ($self,$x,@r) = objectify(1,@_) if !ref($x);
2227
2228   # inf => inf
2229   return $x if $x->modify('bfac') || $x->{sign} eq '+inf';      
2230
2231   return $x->bnan() 
2232     if (($x->{sign} ne '+') ||          # inf, NaN, <0 etc => NaN
2233      ($x->{_es} ne '+'));               # digits after dot?
2234
2235   # use BigInt's bfac() for faster calc
2236   if (! $MBI->_is_zero($x->{_e}))
2237     {
2238     $MBI->_lsft($x->{_m}, $x->{_e},10); # change 12e1 to 120e0
2239     $x->{_e} = $MBI->_zero();           # normalize
2240     $x->{_es} = '+';
2241     }
2242   $MBI->_fac($x->{_m});                 # calculate factorial
2243   $x->bnorm()->round(@r);               # norm again and round result
2244   }
2245
2246 sub _pow
2247   {
2248   # Calculate a power where $y is a non-integer, like 2 ** 0.3
2249   my ($x,$y,@r) = @_;
2250   my $self = ref($x);
2251
2252   # if $y == 0.5, it is sqrt($x)
2253   $HALF = $self->new($HALF) unless ref($HALF);
2254   return $x->bsqrt(@r,$y) if $y->bcmp($HALF) == 0;
2255
2256   # Using:
2257   # a ** x == e ** (x * ln a)
2258
2259   # u = y * ln x
2260   #                _                         _
2261   # Taylor:       |   u    u^2    u^3         |
2262   # x ** y  = 1 + |  --- + --- + ----- + ...  |
2263   #               |_  1    1*2   1*2*3       _|
2264
2265   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
2266   my $fallback = 0;
2267   my ($scale,@params);
2268   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters(@r);
2269     
2270   return $x if $x->is_nan();            # error in _find_round_parameters?
2271
2272   # no rounding at all, so must use fallback
2273   if (scalar @params == 0)
2274     {
2275     # simulate old behaviour
2276     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
2277     $params[1] = undef;                 # disable P
2278     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
2279     $params[2] = $r[2];                 # round mode by caller or undef
2280     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
2281     }
2282   else
2283     {
2284     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
2285     # enough...
2286     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
2287     }
2288
2289   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
2290   # disable them and later re-enable them
2291   no strict 'refs';
2292   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
2293   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
2294   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
2295   # them already into account), since these would interfere, too
2296   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2297   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
2298   local $Math::BigInt::upgrade = undef;
2299  
2300   my ($limit,$v,$u,$below,$factor,$next,$over);
2301
2302   $u = $x->copy()->blog(undef,$scale)->bmul($y);
2303   $v = $self->bone();                           # 1
2304   $factor = $self->new(2);                      # 2
2305   $x->bone();                                   # first term: 1
2306
2307   $below = $v->copy();
2308   $over = $u->copy();
2309
2310   $limit = $self->new("1E-". ($scale-1));
2311   #my $steps = 0;
2312   while (3 < 5)
2313     {
2314     # we calculate the next term, and add it to the last
2315     # when the next term is below our limit, it won't affect the outcome
2316     # anymore, so we stop:
2317     $next = $over->copy()->bdiv($below,$scale);
2318     last if $next->bacmp($limit) <= 0;
2319     $x->badd($next);
2320     # calculate things for the next term
2321     $over *= $u; $below *= $factor; $factor->binc();
2322
2323     last if $x->{sign} !~ /^[-+]$/;
2324
2325     #$steps++;
2326     }
2327   
2328   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
2329   if (defined $params[0])
2330     {
2331     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
2332     }
2333   else
2334     {
2335     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
2336     }
2337   if ($fallback)
2338     {
2339     # clear a/p after round, since user did not request it
2340     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2341     }
2342   # restore globals
2343   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
2344   $x;
2345   }
2346
2347 sub bpow 
2348   {
2349   # (BFLOAT or num_str, BFLOAT or num_str) return BFLOAT
2350   # compute power of two numbers, second arg is used as integer
2351   # modifies first argument
2352
2353   # set up parameters
2354   my ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = (ref($_[0]),@_);
2355   # objectify is costly, so avoid it
2356   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
2357     {
2358     ($self,$x,$y,$a,$p,$r) = objectify(2,@_);
2359     }
2360
2361   return $x if $x->modify('bpow');
2362
2363   return $x->bnan() if $x->{sign} eq $nan || $y->{sign} eq $nan;
2364   return $x if $x->{sign} =~ /^[+-]inf$/;
2365   
2366   # cache the result of is_zero
2367   my $y_is_zero = $y->is_zero();
2368   return $x->bone() if $y_is_zero;
2369   return $x         if $x->is_one() || $y->is_one();
2370
2371   my $x_is_zero = $x->is_zero();
2372   return $x->_pow($y,$a,$p,$r) if !$x_is_zero && !$y->is_int();         # non-integer power
2373
2374   my $y1 = $y->as_number()->{value};                    # make MBI part
2375
2376   # if ($x == -1)
2377   if ($x->{sign} eq '-' && $MBI->_is_one($x->{_m}) && $MBI->_is_zero($x->{_e}))
2378     {
2379     # if $x == -1 and odd/even y => +1/-1  because +-1 ^ (+-1) => +-1
2380     return $MBI->_is_odd($y1) ? $x : $x->babs(1);
2381     }
2382   if ($x_is_zero)
2383     {
2384     #return $x->bone() if $y_is_zero;
2385     return $x if $y->{sign} eq '+';     # 0**y => 0 (if not y <= 0)
2386     # 0 ** -y => 1 / (0 ** y) => 1 / 0! (1 / 0 => +inf)
2387     return $x->binf();
2388     }
2389
2390   my $new_sign = '+';
2391   $new_sign = $MBI->_is_odd($y1) ? '-' : '+' if $x->{sign} ne '+';
2392
2393   # calculate $x->{_m} ** $y and $x->{_e} * $y separately (faster)
2394   $x->{_m} = $MBI->_pow( $x->{_m}, $y1);
2395   $x->{_e} = $MBI->_mul ($x->{_e}, $y1);
2396
2397   $x->{sign} = $new_sign;
2398   $x->bnorm();
2399   if ($y->{sign} eq '-')
2400     {
2401     # modify $x in place!
2402     my $z = $x->copy(); $x->bone();
2403     return scalar $x->bdiv($z,$a,$p,$r);        # round in one go (might ignore y's A!)
2404     }
2405   $x->round($a,$p,$r,$y);
2406   }
2407
2408 sub bmodpow
2409   {
2410   # takes a very large number to a very large exponent in a given very
2411   # large modulus, quickly, thanks to binary exponentation. Supports
2412   # negative exponents.
2413   my ($self,$num,$exp,$mod,@r) = objectify(3,@_);
2414
2415   return $num if $num->modify('bmodpow');
2416
2417   # check modulus for valid values
2418   return $num->bnan() if ($mod->{sign} ne '+'           # NaN, - , -inf, +inf
2419                        || $mod->is_zero());
2420
2421   # check exponent for valid values
2422   if ($exp->{sign} =~ /\w/)
2423     {
2424     # i.e., if it's NaN, +inf, or -inf...
2425     return $num->bnan();
2426     }
2427
2428   $num->bmodinv ($mod) if ($exp->{sign} eq '-');
2429
2430   # check num for valid values (also NaN if there was no inverse but $exp < 0)
2431   return $num->bnan() if $num->{sign} !~ /^[+-]$/;
2432
2433   # $mod is positive, sign on $exp is ignored, result also positive
2434
2435   # XXX TODO: speed it up when all three numbers are integers
2436   $num->bpow($exp)->bmod($mod);
2437   }
2438
2439 ###############################################################################
2440 # trigonometric functions
2441
2442 # helper function for bpi() and batan2(), calculates arcus tanges (1/x)
2443
2444 sub _atan_inv
2445   {
2446   # return a/b so that a/b approximates atan(1/x) to at least limit digits
2447   my ($self, $x, $limit) = @_;
2448
2449   # Taylor:       x^3   x^5   x^7   x^9
2450   #    atan = x - --- + --- - --- + --- - ...
2451   #                3     5     7     9 
2452
2453   #               1      1         1        1
2454   #    atan 1/x = - - ------- + ------- - ------- + ...
2455   #               x   x^3 * 3   x^5 * 5   x^7 * 7 
2456
2457   #               1      1         1            1
2458   #    atan 1/x = - - --------- + ---------- - ----------- + ... 
2459   #               5    3 * 125     5 * 3125     7 * 78125
2460
2461   # Subtraction/addition of a rational:
2462
2463   #  5    7    5*3 +- 7*4
2464   #  - +- -  = ----------
2465   #  4    3       4*3
2466
2467   # Term:  N        N+1
2468   #
2469   #        a             1                  a * d * c +- b
2470   #        ----- +- ------------------  =  ----------------
2471   #        b           d * c                b * d * c
2472
2473   #  since b1 = b0 * (d-2) * c
2474
2475   #        a             1                  a * d +- b / c
2476   #        ----- +- ------------------  =  ----------------
2477   #        b           d * c                b * d 
2478
2479   # and  d = d + 2
2480   # and  c = c * x * x
2481
2482   #        u = d * c
2483   #        stop if length($u) > limit 
2484   #        a = a * u +- b
2485   #        b = b * u
2486   #        d = d + 2
2487   #        c = c * x * x
2488   #        sign = 1 - sign
2489
2490   my $a = $MBI->_one();
2491   my $b = $MBI->_copy($x);
2492  
2493   my $x2  = $MBI->_mul( $MBI->_copy($x), $b);           # x2 = x * x
2494   my $d   = $MBI->_new( 3 );                            # d = 3
2495   my $c   = $MBI->_mul( $MBI->_copy($x), $x2);          # c = x ^ 3
2496   my $two = $MBI->_new( 2 );
2497
2498   # run the first step unconditionally
2499   my $u = $MBI->_mul( $MBI->_copy($d), $c);
2500   $a = $MBI->_mul($a, $u);
2501   $a = $MBI->_sub($a, $b);
2502   $b = $MBI->_mul($b, $u);
2503   $d = $MBI->_add($d, $two);
2504   $c = $MBI->_mul($c, $x2);
2505
2506   # a is now a * (d-3) * c
2507   # b is now b * (d-2) * c
2508
2509   # run the second step unconditionally
2510   $u = $MBI->_mul( $MBI->_copy($d), $c);
2511   $a = $MBI->_mul($a, $u);
2512   $a = $MBI->_add($a, $b);
2513   $b = $MBI->_mul($b, $u);
2514   $d = $MBI->_add($d, $two);
2515   $c = $MBI->_mul($c, $x2);
2516
2517   # a is now a * (d-3) * (d-5) * c * c  
2518   # b is now b * (d-2) * (d-4) * c * c
2519
2520   # so we can remove c * c from both a and b to shorten the numbers involved:
2521   $a = $MBI->_div($a, $x2);
2522   $b = $MBI->_div($b, $x2);
2523   $a = $MBI->_div($a, $x2);
2524   $b = $MBI->_div($b, $x2);
2525
2526 #  my $step = 0; 
2527   my $sign = 0;                                         # 0 => -, 1 => +
2528   while (3 < 5)
2529     {
2530 #    $step++;
2531 #    if (($i++ % 100) == 0)
2532 #      {
2533 #    print "a=",$MBI->_str($a),"\n";
2534 #    print "b=",$MBI->_str($b),"\n";
2535 #      }
2536 #    print "d=",$MBI->_str($d),"\n";
2537 #    print "x2=",$MBI->_str($x2),"\n";
2538 #    print "c=",$MBI->_str($c),"\n";
2539
2540     my $u = $MBI->_mul( $MBI->_copy($d), $c);
2541     # use _alen() for libs like GMP where _len() would be O(N^2)
2542     last if $MBI->_alen($u) > $limit;
2543     my ($bc,$r) = $MBI->_div( $MBI->_copy($b), $c);
2544     if ($MBI->_is_zero($r))
2545       {
2546       # b / c is an integer, so we can remove c from all terms
2547       # this happens almost every time:
2548       $a = $MBI->_mul($a, $d);
2549       $a = $MBI->_sub($a, $bc) if $sign == 0;
2550       $a = $MBI->_add($a, $bc) if $sign == 1;
2551       $b = $MBI->_mul($b, $d);
2552       }
2553     else
2554       {
2555       # b / c is not an integer, so we keep c in the terms
2556       # this happens very rarely, for instance for x = 5, this happens only
2557       # at the following steps:
2558       # 1, 5, 14, 32, 72, 157, 340, ...
2559       $a = $MBI->_mul($a, $u);
2560       $a = $MBI->_sub($a, $b) if $sign == 0;
2561       $a = $MBI->_add($a, $b) if $sign == 1;
2562       $b = $MBI->_mul($b, $u);
2563       }
2564     $d = $MBI->_add($d, $two);
2565     $c = $MBI->_mul($c, $x2);
2566     $sign = 1 - $sign;
2567
2568     }
2569
2570 #  print "Took $step steps for ", $MBI->_str($x),"\n";
2571 #  print "a=",$MBI->_str($a),"\n"; print "b=",$MBI->_str($b),"\n";
2572   # return a/b so that a/b approximates atan(1/x)
2573   ($a,$b);
2574   }
2575
2576 sub bpi
2577   {
2578   my ($self,$n) = @_;
2579   if (@_ == 0)
2580     {
2581     $self = $class;
2582     }
2583   if (@_ == 1)
2584     {
2585     # called like Math::BigFloat::bpi(10);
2586     $n = $self; $self = $class;
2587     # called like Math::BigFloat->bpi();
2588     $n = undef if $n eq 'Math::BigFloat';
2589     }
2590   $self = ref($self) if ref($self);
2591   $n = 40 if !defined $n || $n < 1;
2592
2593   # after 黃見利 (Hwang Chien-Lih) (1997)
2594   # pi/4 = 183 * atan(1/239) + 32 * atan(1/1023) – 68 * atan(1/5832)
2595   #      + 12 * atan(1/110443) - 12 * atan(1/4841182) - 100 * atan(1/6826318)
2596
2597   # a few more to prevent rounding errors
2598   $n += 4;
2599
2600   my ($a,$b) = $self->_atan_inv( $MBI->_new(239),$n);
2601   my ($c,$d) = $self->_atan_inv( $MBI->_new(1023),$n);
2602   my ($e,$f) = $self->_atan_inv( $MBI->_new(5832),$n);
2603   my ($g,$h) = $self->_atan_inv( $MBI->_new(110443),$n);
2604   my ($i,$j) = $self->_atan_inv( $MBI->_new(4841182),$n);
2605   my ($k,$l) = $self->_atan_inv( $MBI->_new(6826318),$n);
2606
2607   $MBI->_mul($a, $MBI->_new(732));
2608   $MBI->_mul($c, $MBI->_new(128));
2609   $MBI->_mul($e, $MBI->_new(272));
2610   $MBI->_mul($g, $MBI->_new(48));
2611   $MBI->_mul($i, $MBI->_new(48));
2612   $MBI->_mul($k, $MBI->_new(400));
2613
2614   my $x = $self->bone(); $x->{_m} = $a; my $x_d = $self->bone(); $x_d->{_m} = $b;
2615   my $y = $self->bone(); $y->{_m} = $c; my $y_d = $self->bone(); $y_d->{_m} = $d;
2616   my $z = $self->bone(); $z->{_m} = $e; my $z_d = $self->bone(); $z_d->{_m} = $f;
2617   my $u = $self->bone(); $u->{_m} = $g; my $u_d = $self->bone(); $u_d->{_m} = $h;
2618   my $v = $self->bone(); $v->{_m} = $i; my $v_d = $self->bone(); $v_d->{_m} = $j;
2619   my $w = $self->bone(); $w->{_m} = $k; my $w_d = $self->bone(); $w_d->{_m} = $l;
2620   $x->bdiv($x_d, $n);
2621   $y->bdiv($y_d, $n);
2622   $z->bdiv($z_d, $n);
2623   $u->bdiv($u_d, $n);
2624   $v->bdiv($v_d, $n);
2625   $w->bdiv($w_d, $n);
2626
2627   delete $x->{a}; delete $y->{a}; delete $z->{a};
2628   delete $u->{a}; delete $v->{a}; delete $w->{a};
2629   $x->badd($y)->bsub($z)->badd($u)->bsub($v)->bsub($w);
2630
2631   $x->round($n-4);
2632   }
2633
2634 sub bcos
2635   {
2636   # Calculate a cosinus of x.
2637   my ($self,$x,@r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
2638
2639   # Taylor:      x^2   x^4   x^6   x^8
2640   #    cos = 1 - --- + --- - --- + --- ...
2641   #               2!    4!    6!    8!
2642
2643   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
2644   my $fallback = 0;
2645   my ($scale,@params);
2646   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters(@r);
2647     
2648   #         constant object       or error in _find_round_parameters?
2649   return $x if $x->modify('bcos') || $x->is_nan();
2650
2651   return $x->bone(@r) if $x->is_zero();
2652
2653   # no rounding at all, so must use fallback
2654   if (scalar @params == 0)
2655     {
2656     # simulate old behaviour
2657     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
2658     $params[1] = undef;                 # disable P
2659     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
2660     $params[2] = $r[2];                 # round mode by caller or undef
2661     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
2662     }
2663   else
2664     {
2665     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
2666     # enough...
2667     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
2668     }
2669
2670   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
2671   # disable them and later re-enable them
2672   no strict 'refs';
2673   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
2674   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
2675   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
2676   # them already into account), since these would interfere, too
2677   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2678   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
2679   local $Math::BigInt::upgrade = undef;
2680  
2681   my $last = 0;
2682   my $over = $x * $x;                   # X ^ 2
2683   my $x2 = $over->copy();               # X ^ 2; difference between terms
2684   my $sign = 1;                         # start with -=
2685   my $below = $self->new(2); my $factorial = $self->new(3);
2686   $x->bone(); delete $x->{a}; delete $x->{p};
2687
2688   my $limit = $self->new("1E-". ($scale-1));
2689   #my $steps = 0;
2690   while (3 < 5)
2691     {
2692     # we calculate the next term, and add it to the last
2693     # when the next term is below our limit, it won't affect the outcome
2694     # anymore, so we stop:
2695     my $next = $over->copy()->bdiv($below,$scale);
2696     last if $next->bacmp($limit) <= 0;
2697
2698     if ($sign == 0)
2699       {
2700       $x->badd($next);
2701       }
2702     else
2703       {
2704       $x->bsub($next);
2705       }
2706     $sign = 1-$sign;                                    # alternate
2707     # calculate things for the next term
2708     $over->bmul($x2);                                   # $x*$x
2709     $below->bmul($factorial); $factorial->binc();       # n*(n+1)
2710     $below->bmul($factorial); $factorial->binc();       # n*(n+1)
2711     }
2712
2713   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
2714   if (defined $params[0])
2715     {
2716     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
2717     }
2718   else
2719     {
2720     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
2721     }
2722   if ($fallback)
2723     {
2724     # clear a/p after round, since user did not request it
2725     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2726     }
2727   # restore globals
2728   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
2729   $x;
2730   }
2731
2732 sub bsin
2733   {
2734   # Calculate a sinus of x.
2735   my ($self,$x,@r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
2736
2737   # taylor:      x^3   x^5   x^7   x^9
2738   #    sin = x - --- + --- - --- + --- ...
2739   #               3!    5!    7!    9!
2740
2741   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
2742   my $fallback = 0;
2743   my ($scale,@params);
2744   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters(@r);
2745     
2746   #         constant object       or error in _find_round_parameters?
2747   return $x if $x->modify('bsin') || $x->is_nan();
2748
2749   return $x->bzero(@r) if $x->is_zero();
2750
2751   # no rounding at all, so must use fallback
2752   if (scalar @params == 0)
2753     {
2754     # simulate old behaviour
2755     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
2756     $params[1] = undef;                 # disable P
2757     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
2758     $params[2] = $r[2];                 # round mode by caller or undef
2759     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
2760     }
2761   else
2762     {
2763     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
2764     # enough...
2765     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
2766     }
2767
2768   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
2769   # disable them and later re-enable them
2770   no strict 'refs';
2771   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
2772   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
2773   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
2774   # them already into account), since these would interfere, too
2775   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2776   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
2777   local $Math::BigInt::upgrade = undef;
2778  
2779   my $last = 0;
2780   my $over = $x * $x;                   # X ^ 2
2781   my $x2 = $over->copy();               # X ^ 2; difference between terms
2782   $over->bmul($x);                      # X ^ 3 as starting value
2783   my $sign = 1;                         # start with -=
2784   my $below = $self->new(6); my $factorial = $self->new(4);
2785   delete $x->{a}; delete $x->{p};
2786
2787   my $limit = $self->new("1E-". ($scale-1));
2788   #my $steps = 0;
2789   while (3 < 5)
2790     {
2791     # we calculate the next term, and add it to the last
2792     # when the next term is below our limit, it won't affect the outcome
2793     # anymore, so we stop:
2794     my $next = $over->copy()->bdiv($below,$scale);
2795     last if $next->bacmp($limit) <= 0;
2796
2797     if ($sign == 0)
2798       {
2799       $x->badd($next);
2800       }
2801     else
2802       {
2803       $x->bsub($next);
2804       }
2805     $sign = 1-$sign;                                    # alternate
2806     # calculate things for the next term
2807     $over->bmul($x2);                                   # $x*$x
2808     $below->bmul($factorial); $factorial->binc();       # n*(n+1)
2809     $below->bmul($factorial); $factorial->binc();       # n*(n+1)
2810     }
2811
2812   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
2813   if (defined $params[0])
2814     {
2815     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
2816     }
2817   else
2818     {
2819     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
2820     }
2821   if ($fallback)
2822     {
2823     # clear a/p after round, since user did not request it
2824     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
2825     }
2826   # restore globals
2827   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
2828   $x;
2829   }
2830
2831 sub batan2
2832   { 
2833   # calculate arcus tangens of ($y/$x)
2834   
2835   # set up parameters
2836   my ($self,$y,$x,@r) = (ref($_[0]),@_);
2837   # objectify is costly, so avoid it
2838   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
2839     {
2840     ($self,$y,$x,@r) = objectify(2,@_);
2841     }
2842
2843   return $y if $y->modify('batan2');
2844
2845   return $y->bnan() if ($y->{sign} eq $nan) || ($x->{sign} eq $nan);
2846
2847   return $upgrade->new($y)->batan2($upgrade->new($x),@r) if defined $upgrade;
2848
2849   # Y X
2850   # 0 0 result is 0
2851   # 0 +x result is 0
2852   return $y->bzero(@r) if $y->is_zero() && $x->{sign} eq '+';
2853
2854   # Y X
2855   # 0 -x result is PI
2856   if ($y->is_zero())
2857     {
2858     # calculate PI
2859     my $pi = $self->bpi(@r);
2860     # modify $x in place
2861     $y->{_m} = $pi->{_m};
2862     $y->{_e} = $pi->{_e};
2863     $y->{_es} = $pi->{_es};
2864     $y->{sign} = '+';
2865     return $y;
2866     }
2867
2868   # Y X
2869   # +y 0 result is PI/2
2870   # -y 0 result is -PI/2
2871   if ($y->is_inf() || $x->is_zero())
2872     {
2873     # calculate PI/2
2874     my $pi = $self->bpi(@r);
2875     # modify $x in place
2876     $y->{_m} = $pi->{_m};
2877     $y->{_e} = $pi->{_e};
2878     $y->{_es} = $pi->{_es};
2879     # -y => -PI/2, +y => PI/2
2880     $y->{sign} = substr($y->{sign},0,1);                # +inf => +
2881     $MBI->_div($y->{_m}, $MBI->_new(2));
2882     return $y;
2883     }
2884
2885   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
2886   my $fallback = 0;
2887   my ($scale,@params);
2888   ($y,@params) = $y->_find_round_parameters(@r);
2889     
2890   # error in _find_round_parameters?
2891   return $y if $y->is_nan();
2892
2893   # no rounding at all, so must use fallback
2894   if (scalar @params == 0)
2895     {
2896     # simulate old behaviour
2897     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
2898     $params[1] = undef;                 # disable P
2899     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
2900     $params[2] = $r[2];                 # round mode by caller or undef
2901     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
2902     }
2903   else
2904     {
2905     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
2906     # enough...
2907     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
2908     }
2909
2910   # inlined is_one() && is_one('-')
2911   if ($MBI->_is_one($y->{_m}) && $MBI->_is_zero($y->{_e}))
2912     {
2913     # shortcut: 1 1 result is PI/4
2914     # inlined is_one() && is_one('-')
2915     if ($MBI->_is_one($x->{_m}) && $MBI->_is_zero($x->{_e}))
2916       {
2917       # 1,1 => PI/4
2918       my $pi_4 = $self->bpi( $scale - 3);
2919       # modify $x in place
2920       $y->{_m} = $pi_4->{_m};
2921       $y->{_e} = $pi_4->{_e};
2922       $y->{_es} = $pi_4->{_es};
2923       # 1 1 => +
2924       # -1 1 => -
2925       # 1 -1 => -
2926       # -1 -1 => +
2927       $y->{sign} = $x->{sign} eq $y->{sign} ? '+' : '-';
2928       $MBI->_div($y->{_m}, $MBI->_new(4));
2929       return $y;
2930       }
2931     # shortcut: 1 int(X) result is _atan_inv(X)
2932
2933     # is integer
2934     if ($x->{_es} eq '+')
2935       {
2936       my $x1 = $MBI->_copy($x->{_m});
2937       $MBI->_lsft($x1, $x->{_e},10) unless $MBI->_is_zero($x->{_e});
2938
2939       my ($a,$b) = $self->_atan_inv($x1, $scale);
2940       my $y_sign = $y->{sign};
2941       # calculate A/B
2942       $y->bone(); $y->{_m} = $a; my $y_d = $self->bone(); $y_d->{_m} = $b;
2943       $y->bdiv($y_d, @r);
2944       $y->{sign} = $y_sign;
2945       return $y;
2946       }
2947     }
2948
2949   # handle all other cases
2950   #  X  Y
2951   # +x +y 0 to PI/2
2952   # -x +y PI/2 to PI
2953   # +x -y 0 to -PI/2
2954   # -x -y -PI/2 to -PI 
2955
2956   my $y_sign = $y->{sign};
2957
2958   # divide $x by $y
2959   $y->bdiv($x, $scale) unless $x->is_one();
2960   $y->batan(@r);
2961
2962   # restore sign
2963   $y->{sign} = $y_sign;
2964
2965   $y;
2966   }
2967
2968 sub batan
2969   {
2970   # Calculate a arcus tangens of x.
2971   my ($x,@r) = @_;
2972   my $self = ref($x);
2973
2974   # taylor:       x^3   x^5   x^7   x^9
2975   #    atan = x - --- + --- - --- + --- ...
2976   #                3     5     7     9 
2977
2978   # we need to limit the accuracy to protect against overflow
2979   my $fallback = 0;
2980   my ($scale,@params);
2981   ($x,@params) = $x->_find_round_parameters(@r);
2982     
2983   #         constant object       or error in _find_round_parameters?
2984   return $x if $x->modify('batan') || $x->is_nan();
2985
2986   if ($x->{sign} =~ /^[+-]inf\z/)
2987     {
2988     # +inf result is PI/2
2989     # -inf result is -PI/2
2990     # calculate PI/2
2991     my $pi = $self->bpi(@r);
2992     # modify $x in place
2993     $x->{_m} = $pi->{_m};
2994     $x->{_e} = $pi->{_e};
2995     $x->{_es} = $pi->{_es};
2996     # -y => -PI/2, +y => PI/2
2997     $x->{sign} = substr($x->{sign},0,1);                # +inf => +
2998     $MBI->_div($x->{_m}, $MBI->_new(2));
2999     return $x;
3000     }
3001
3002   return $x->bzero(@r) if $x->is_zero();
3003
3004   # no rounding at all, so must use fallback
3005   if (scalar @params == 0)
3006     {
3007     # simulate old behaviour
3008     $params[0] = $self->div_scale();    # and round to it as accuracy
3009     $params[1] = undef;                 # disable P
3010     $scale = $params[0]+4;              # at least four more for proper round
3011     $params[2] = $r[2];                 # round mode by caller or undef
3012     $fallback = 1;                      # to clear a/p afterwards
3013     }
3014   else
3015     {
3016     # the 4 below is empirical, and there might be cases where it is not
3017     # enough...
3018     $scale = abs($params[0] || $params[1]) + 4; # take whatever is defined
3019     }
3020
3021   # 1 or -1 => PI/4
3022   # inlined is_one() && is_one('-')
3023   if ($MBI->_is_one($x->{_m}) && $MBI->_is_zero($x->{_e}))
3024     {
3025     my $pi = $self->bpi($scale - 3);
3026     # modify $x in place
3027     $x->{_m} = $pi->{_m};
3028     $x->{_e} = $pi->{_e};
3029     $x->{_es} = $pi->{_es};
3030     # leave the sign of $x alone (+1 => +PI/4, -1 => -PI/4)
3031     $MBI->_div($x->{_m}, $MBI->_new(4));
3032     return $x;
3033     }
3034   
3035   # This series is only valid if -1 < x < 1, so for other x we need to
3036   # to calculate PI/ - atan(1/x):
3037   my $one = $MBI->_new(1);
3038   my $pi = undef;
3039   if ($x->{_es} eq '+' && ($MBI->_acmp($x->{_m},$one) >= 0))
3040     {
3041     # calculate PI/2
3042     $pi = $self->bpi($scale - 3);
3043     $MBI->_div($pi->{_m}, $MBI->_new(2));
3044     # calculate 1/$x:
3045     my $x_copy = $x->copy();
3046     # modify $x in place
3047     $x->bone(); $x->bdiv($x_copy,$scale);
3048     }
3049
3050   # when user set globals, they would interfere with our calculation, so
3051   # disable them and later re-enable them
3052   no strict 'refs';
3053   my $abr = "$self\::accuracy"; my $ab = $$abr; $$abr = undef;
3054   my $pbr = "$self\::precision"; my $pb = $$pbr; $$pbr = undef;
3055   # we also need to disable any set A or P on $x (_find_round_parameters took
3056   # them already into account), since these would interfere, too
3057   delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
3058   # need to disable $upgrade in BigInt, to avoid deep recursion
3059   local $Math::BigInt::upgrade = undef;
3060  
3061   my $last = 0;
3062   my $over = $x * $x;                   # X ^ 2
3063   my $x2 = $over->copy();               # X ^ 2; difference between terms
3064   $over->bmul($x);                      # X ^ 3 as starting value
3065   my $sign = 1;                         # start with -=
3066   my $below = $self->new(3);
3067   my $two = $self->new(2);
3068   delete $x->{a}; delete $x->{p};
3069
3070   my $limit = $self->new("1E-". ($scale-1));
3071   #my $steps = 0;
3072   while (3 < 5)
3073     {
3074     # we calculate the next term, and add it to the last
3075     # when the next term is below our limit, it won't affect the outcome
3076     # anymore, so we stop:
3077     my $next = $over->copy()->bdiv($below,$scale);
3078     last if $next->bacmp($limit) <= 0;
3079
3080     if ($sign == 0)
3081       {
3082       $x->badd($next);
3083       }
3084     else
3085       {
3086       $x->bsub($next);
3087       }
3088     $sign = 1-$sign;                                    # alternate
3089     # calculate things for the next term
3090     $over->bmul($x2);                                   # $x*$x
3091     $below->badd($two);                                 # n += 2
3092     }
3093
3094   if (defined $pi)
3095     {
3096     my $x_copy = $x->copy();
3097     # modify $x in place
3098     $x->{_m} = $pi->{_m};
3099     $x->{_e} = $pi->{_e};
3100     $x->{_es} = $pi->{_es};
3101     # PI/2 - $x
3102     $x->bsub($x_copy);
3103     }
3104
3105   # shortcut to not run through _find_round_parameters again
3106   if (defined $params[0])
3107     {
3108     $x->bround($params[0],$params[2]);          # then round accordingly
3109     }
3110   else
3111     {
3112     $x->bfround($params[1],$params[2]);         # then round accordingly
3113     }
3114   if ($fallback)
3115     {
3116     # clear a/p after round, since user did not request it
3117     delete $x->{_a}; delete $x->{_p};
3118     }
3119   # restore globals
3120   $$abr = $ab; $$pbr = $pb;
3121   $x;
3122   }
3123
3124 ###############################################################################
3125 # rounding functions
3126
3127 sub bfround
3128   {
3129   # precision: round to the $Nth digit left (+$n) or right (-$n) from the '.'
3130   # $n == 0 means round to integer
3131   # expects and returns normalized numbers!
3132   my $x = shift; my $self = ref($x) || $x; $x = $self->new(shift) if !ref($x);
3133
3134   my ($scale,$mode) = $x->_scale_p(@_);
3135   return $x if !defined $scale || $x->modify('bfround'); # no-op
3136
3137   # never round a 0, +-inf, NaN
3138   if ($x->is_zero())
3139     {
3140     $x->{_p} = $scale if !defined $x->{_p} || $x->{_p} < $scale; # -3 < -2
3141     return $x; 
3142     }
3143   return $x if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;
3144
3145   # don't round if x already has lower precision
3146   return $x if (defined $x->{_p} && $x->{_p} < 0 && $scale < $x->{_p});
3147
3148   $x->{_p} = $scale;                    # remember round in any case
3149   delete $x->{_a};                      # and clear A
3150   if ($scale < 0)
3151     {
3152     # round right from the '.'
3153
3154     return $x if $x->{_es} eq '+';              # e >= 0 => nothing to round
3155
3156     $scale = -$scale;                           # positive for simplicity
3157     my $len = $MBI->_len($x->{_m});             # length of mantissa
3158
3159     # the following poses a restriction on _e, but if _e is bigger than a
3160     # scalar, you got other problems (memory etc) anyway
3161     my $dad = -(0+ ($x->{_es}.$MBI->_num($x->{_e})));   # digits after dot
3162     my $zad = 0;                                # zeros after dot
3163     $zad = $dad - $len if (-$dad < -$len);      # for 0.00..00xxx style
3164    
3165     # p rint "scale $scale dad $dad zad $zad len $len\n";
3166     # number  bsstr   len zad dad       
3167     # 0.123   123e-3    3   0 3
3168     # 0.0123  123e-4    3   1 4
3169     # 0.001   1e-3      1   2 3
3170     # 1.23    123e-2    3   0 2
3171     # 1.2345  12345e-4  5   0 4
3172
3173     # do not round after/right of the $dad
3174     return $x if $scale > $dad;                 # 0.123, scale >= 3 => exit
3175
3176     # round to zero if rounding inside the $zad, but not for last zero like:
3177     # 0.0065, scale -2, round last '0' with following '65' (scale == zad case)
3178     return $x->bzero() if $scale < $zad;
3179     if ($scale == $zad)                 # for 0.006, scale -3 and trunc
3180       {
3181       $scale = -$len;
3182       }
3183     else
3184       {
3185       # adjust round-point to be inside mantissa
3186       if ($zad != 0)
3187         {
3188         $scale = $scale-$zad;
3189         }
3190       else
3191         {
3192         my $dbd = $len - $dad; $dbd = 0 if $dbd < 0;    # digits before dot
3193         $scale = $dbd+$scale;
3194         }
3195       }
3196     }
3197   else
3198     {
3199     # round left from the '.'
3200
3201     # 123 => 100 means length(123) = 3 - $scale (2) => 1
3202
3203     my $dbt = $MBI->_len($x->{_m}); 
3204     # digits before dot 
3205     my $dbd = $dbt + ($x->{_es} . $MBI->_num($x->{_e}));
3206     # should be the same, so treat it as this 
3207     $scale = 1 if $scale == 0; 
3208     # shortcut if already integer 
3209     return $x if $scale == 1 && $dbt <= $dbd; 
3210     # maximum digits before dot 
3211     ++$dbd;
3212
3213     if ($scale > $dbd) 
3214        { 
3215        # not enough digits before dot, so round to zero 
3216        return $x->bzero; 
3217        }
3218     elsif ( $scale == $dbd )
3219        { 
3220        # maximum 
3221        $scale = -$dbt; 
3222        } 
3223     else
3224        { 
3225        $scale = $dbd - $scale; 
3226        }
3227     }
3228   # pass sign to bround for rounding modes '+inf' and '-inf'
3229   my $m = bless { sign => $x->{sign}, value => $x->{_m} }, 'Math::BigInt';
3230   $m->bround($scale,$mode);
3231   $x->{_m} = $m->{value};                       # get our mantissa back
3232   $x->bnorm();
3233   }
3234
3235 sub bround
3236   {
3237   # accuracy: preserve $N digits, and overwrite the rest with 0's
3238   my $x = shift; my $self = ref($x) || $x; $x = $self->new(shift) if !ref($x);
3239
3240   if (($_[0] || 0) < 0)
3241     {
3242     require Carp; Carp::croak ('bround() needs positive accuracy');
3243     }
3244
3245   my ($scale,$mode) = $x->_scale_a(@_);
3246   return $x if !defined $scale || $x->modify('bround'); # no-op
3247
3248   # scale is now either $x->{_a}, $accuracy, or the user parameter
3249   # test whether $x already has lower accuracy, do nothing in this case 
3250   # but do round if the accuracy is the same, since a math operation might
3251   # want to round a number with A=5 to 5 digits afterwards again
3252   return $x if defined $x->{_a} && $x->{_a} < $scale;
3253
3254   # scale < 0 makes no sense
3255   # scale == 0 => keep all digits
3256   # never round a +-inf, NaN
3257   return $x if ($scale <= 0) || $x->{sign} !~ /^[+-]$/;
3258
3259   # 1: never round a 0
3260   # 2: if we should keep more digits than the mantissa has, do nothing
3261   if ($x->is_zero() || $MBI->_len($x->{_m}) <= $scale)
3262     {
3263     $x->{_a} = $scale if !defined $x->{_a} || $x->{_a} > $scale;
3264     return $x; 
3265     }
3266
3267   # pass sign to bround for '+inf' and '-inf' rounding modes
3268   my $m = bless { sign => $x->{sign}, value => $x->{_m} }, 'Math::BigInt';
3269
3270   $m->bround($scale,$mode);             # round mantissa
3271   $x->{_m} = $m->{value};               # get our mantissa back
3272   $x->{_a} = $scale;                    # remember rounding
3273   delete $x->{_p};                      # and clear P
3274   $x->bnorm();                          # del trailing zeros gen. by bround()
3275   }
3276
3277 sub bfloor
3278   {
3279   # return integer less or equal then $x
3280   my ($self,$x,$a,$p,$r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
3281
3282   return $x if $x->modify('bfloor');
3283    
3284   return $x if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;  # nan, +inf, -inf
3285
3286   # if $x has digits after dot
3287   if ($x->{_es} eq '-')
3288     {
3289     $x->{_m} = $MBI->_rsft($x->{_m},$x->{_e},10); # cut off digits after dot
3290     $x->{_e} = $MBI->_zero();                   # trunc/norm    
3291     $x->{_es} = '+';                            # abs e
3292     $MBI->_inc($x->{_m}) if $x->{sign} eq '-';  # increment if negative
3293     }
3294   $x->round($a,$p,$r);
3295   }
3296
3297 sub bceil
3298   {
3299   # return integer greater or equal then $x
3300   my ($self,$x,$a,$p,$r) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),@_) : objectify(1,@_);
3301
3302   return $x if $x->modify('bceil');
3303   return $x if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;  # nan, +inf, -inf
3304
3305   # if $x has digits after dot
3306   if ($x->{_es} eq '-')
3307     {
3308     $x->{_m} = $MBI->_rsft($x->{_m},$x->{_e},10); # cut off digits after dot
3309     $x->{_e} = $MBI->_zero();                   # trunc/norm    
3310     $x->{_es} = '+';                            # abs e
3311     $MBI->_inc($x->{_m}) if $x->{sign} eq '+';  # increment if positive
3312     }
3313   $x->round($a,$p,$r);
3314   }
3315
3316 sub brsft
3317   {
3318   # shift right by $y (divide by power of $n)
3319   
3320   # set up parameters
3321   my ($self,$x,$y,$n,$a,$p,$r) = (ref($_[0]),@_);
3322   # objectify is costly, so avoid it
3323   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
3324     {
3325     ($self,$x,$y,$n,$a,$p,$r) = objectify(2,@_);
3326     }
3327
3328   return $x if $x->modify('brsft');
3329   return $x if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;  # nan, +inf, -inf
3330
3331   $n = 2 if !defined $n; $n = $self->new($n);
3332
3333   # negative amount?
3334   return $x->blsft($y->copy()->babs(),$n) if $y->{sign} =~ /^-/;
3335
3336   # the following call to bdiv() will return either quo or (quo,reminder):
3337   $x->bdiv($n->bpow($y),$a,$p,$r,$y);
3338   }
3339
3340 sub blsft
3341   {
3342   # shift left by $y (multiply by power of $n)
3343   
3344   # set up parameters
3345   my ($self,$x,$y,$n,$a,$p,$r) = (ref($_[0]),@_);
3346   # objectify is costly, so avoid it
3347   if ((!ref($_[0])) || (ref($_[0]) ne ref($_[1])))
3348     {
3349     ($self,$x,$y,$n,$a,$p,$r) = objectify(2,@_);
3350     }
3351
3352   return $x if $x->modify('blsft');
3353   return $x if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;  # nan, +inf, -inf
3354
3355   $n = 2 if !defined $n; $n = $self->new($n);
3356
3357   # negative amount?
3358   return $x->brsft($y->copy()->babs(),$n) if $y->{sign} =~ /^-/;
3359
3360   $x->bmul($n->bpow($y),$a,$p,$r,$y);
3361   }
3362
3363 ###############################################################################
3364
3365 sub DESTROY
3366   {
3367   # going through AUTOLOAD for every DESTROY is costly, avoid it by empty sub
3368   }
3369
3370 sub AUTOLOAD
3371   {
3372   # make fxxx and bxxx both work by selectively mapping fxxx() to MBF::bxxx()
3373   # or falling back to MBI::bxxx()
3374   my $name = $AUTOLOAD;
3375
3376   $name =~ s/(.*):://;  # split package
3377   my $c = $1 || $class;
3378   no strict 'refs';
3379   $c->import() if $IMPORT == 0;
3380   if (!_method_alias($name))
3381     {
3382     if (!defined $name)
3383       {
3384       # delayed load of Carp and avoid recursion        
3385       require Carp;
3386       Carp::croak ("$c: Can't call a method without name");
3387       }
3388     if (!_method_hand_up($name))
3389       {
3390       # delayed load of Carp and avoid recursion        
3391       require Carp;
3392       Carp::croak ("Can't call $c\-\>$name, not a valid method");
3393       }
3394     # try one level up, but subst. bxxx() for fxxx() since MBI only got bxxx()
3395     $name =~ s/^f/b/;
3396     return &{"Math::BigInt"."::$name"}(@_);
3397     }
3398   my $bname = $name; $bname =~ s/^f/b/;
3399   $c .= "::$name";
3400   *{$c} = \&{$bname};
3401   &{$c};        # uses @_
3402   }
3403
3404 sub exponent
3405   {
3406   # return a copy of the exponent
3407   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),$_[0]) : objectify(1,@_);
3408
3409   if ($x->{sign} !~ /^[+-]$/)
3410     {
3411     my $s = $x->{sign}; $s =~ s/^[+-]//;
3412     return Math::BigInt->new($s);               # -inf, +inf => +inf
3413     }
3414   Math::BigInt->new( $x->{_es} . $MBI->_str($x->{_e}));
3415   }
3416
3417 sub mantissa
3418   {
3419   # return a copy of the mantissa
3420   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),$_[0]) : objectify(1,@_);
3421  
3422   if ($x->{sign} !~ /^[+-]$/)
3423     {
3424     my $s = $x->{sign}; $s =~ s/^[+]//;
3425     return Math::BigInt->new($s);               # -inf, +inf => +inf
3426     }
3427   my $m = Math::BigInt->new( $MBI->_str($x->{_m}));
3428   $m->bneg() if $x->{sign} eq '-';
3429
3430   $m;
3431   }
3432
3433 sub parts
3434   {
3435   # return a copy of both the exponent and the mantissa
3436   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),$_[0]) : objectify(1,@_);
3437
3438   if ($x->{sign} !~ /^[+-]$/)
3439     {
3440     my $s = $x->{sign}; $s =~ s/^[+]//; my $se = $s; $se =~ s/^[-]//;
3441     return ($self->new($s),$self->new($se)); # +inf => inf and -inf,+inf => inf
3442     }
3443   my $m = Math::BigInt->bzero();
3444   $m->{value} = $MBI->_copy($x->{_m});
3445   $m->bneg() if $x->{sign} eq '-';
3446   ($m, Math::BigInt->new( $x->{_es} . $MBI->_num($x->{_e}) ));
3447   }
3448
3449 ##############################################################################
3450 # private stuff (internal use only)
3451
3452 sub import
3453   {
3454   my $self = shift;
3455   my $l = scalar @_;
3456   my $lib = ''; my @a;
3457   my $lib_kind = 'try';
3458   $IMPORT=1;
3459   for ( my $i = 0; $i < $l ; $i++)
3460     {
3461     if ( $_[$i] eq ':constant' )
3462       {
3463       # This causes overlord er load to step in. 'binary' and 'integer'
3464       # are handled by BigInt.
3465       overload::constant float => sub { $self->new(shift); }; 
3466       }
3467     elsif ($_[$i] eq 'upgrade')
3468       {
3469       # this causes upgrading
3470       $upgrade = $_[$i+1];              # or undef to disable
3471       $i++;
3472       }
3473     elsif ($_[$i] eq 'downgrade')
3474       {
3475       # this causes downgrading
3476       $downgrade = $_[$i+1];            # or undef to disable
3477       $i++;
3478       }
3479     elsif ($_[$i] =~ /^(lib|try|only)\z/)
3480       {
3481       # alternative library
3482       $lib = $_[$i+1] || '';            # default Calc
3483       $lib_kind = $1;                   # lib, try or only
3484       $i++;
3485       }
3486     elsif ($_[$i] eq 'with')
3487       {
3488       # alternative class for our private parts()
3489       # XXX: no longer supported
3490       # $MBI = $_[$i+1] || 'Math::BigInt';
3491       $i++;
3492       }
3493     else
3494       {
3495       push @a, $_[$i];
3496       }
3497     }
3498
3499   $lib =~ tr/a-zA-Z0-9,://cd;           # restrict to sane characters
3500   # let use Math::BigInt lib => 'GMP'; use Math::BigFloat; still work
3501   my $mbilib = eval { Math::BigInt->config()->{lib} };
3502   if ((defined $mbilib) && ($MBI eq 'Math::BigInt::Calc'))
3503     {
3504     # MBI already loaded
3505     Math::BigInt->import( $lib_kind, "$lib,$mbilib", 'objectify');
3506     }
3507   else
3508     {
3509     # MBI not loaded, or with ne "Math::BigInt::Calc"
3510     $lib .= ",$mbilib" if defined $mbilib;
3511     $lib =~ s/^,//;                             # don't leave empty 
3512     
3513     # replacement library can handle lib statement, but also could ignore it
3514     
3515     # Perl < 5.6.0 dies with "out of memory!" when eval() and ':constant' is
3516     # used in the same script, or eval inside import(). So we require MBI:
3517     require Math::BigInt;
3518     Math::BigInt->import( $lib_kind => $lib, 'objectify' );
3519     }
3520   if ($@)
3521     {
3522     require Carp; Carp::croak ("Couldn't load $lib: $! $@");
3523     }
3524   # find out which one was actually loaded
3525   $MBI = Math::BigInt->config()->{lib};
3526
3527   # register us with MBI to get notified of future lib changes
3528   Math::BigInt::_register_callback( $self, sub { $MBI = $_[0]; } );
3529
3530   $self->export_to_level(1,$self,@a);           # export wanted functions
3531   }
3532
3533 sub bnorm
3534   {
3535   # adjust m and e so that m is smallest possible
3536   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (undef,$_[0]) : objectify(1,@_);
3537
3538   return $x if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;          # inf, nan etc
3539
3540   my $zeros = $MBI->_zeros($x->{_m});           # correct for trailing zeros
3541   if ($zeros != 0)
3542     {
3543     my $z = $MBI->_new($zeros);
3544     $x->{_m} = $MBI->_rsft ($x->{_m}, $z, 10);
3545     if ($x->{_es} eq '-')
3546       {
3547       if ($MBI->_acmp($x->{_e},$z) >= 0)
3548         {
3549         $x->{_e} = $MBI->_sub ($x->{_e}, $z);
3550         $x->{_es} = '+' if $MBI->_is_zero($x->{_e});
3551         }
3552       else
3553         {
3554         $x->{_e} = $MBI->_sub ( $MBI->_copy($z), $x->{_e});
3555         $x->{_es} = '+';
3556         }
3557       }
3558     else
3559       {
3560       $x->{_e} = $MBI->_add ($x->{_e}, $z);
3561       }
3562     }
3563   else
3564     {
3565     # $x can only be 0Ey if there are no trailing zeros ('0' has 0 trailing
3566     # zeros). So, for something like 0Ey, set y to 1, and -0 => +0
3567     $x->{sign} = '+', $x->{_es} = '+', $x->{_e} = $MBI->_one()
3568      if $MBI->_is_zero($x->{_m});
3569     }
3570
3571   $x;                                   # MBI bnorm is no-op, so dont call it
3572   } 
3573  
3574 ##############################################################################
3575
3576 sub as_hex
3577   {
3578   # return number as hexadecimal string (only for integers defined)
3579   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),$_[0]) : objectify(1,@_);
3580
3581   return $x->bstr() if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;  # inf, nan etc
3582   return '0x0' if $x->is_zero();
3583
3584   return $nan if $x->{_es} ne '+';              # how to do 1e-1 in hex!?
3585
3586   my $z = $MBI->_copy($x->{_m});
3587   if (! $MBI->_is_zero($x->{_e}))               # > 0 
3588     {
3589     $MBI->_lsft( $z, $x->{_e},10);
3590     }
3591   $z = Math::BigInt->new( $x->{sign} . $MBI->_num($z));
3592   $z->as_hex();
3593   }
3594
3595 sub as_bin
3596   {
3597   # return number as binary digit string (only for integers defined)
3598   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),$_[0]) : objectify(1,@_);
3599
3600   return $x->bstr() if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;  # inf, nan etc
3601   return '0b0' if $x->is_zero();
3602
3603   return $nan if $x->{_es} ne '+';              # how to do 1e-1 in hex!?
3604
3605   my $z = $MBI->_copy($x->{_m});
3606   if (! $MBI->_is_zero($x->{_e}))               # > 0 
3607     {
3608     $MBI->_lsft( $z, $x->{_e},10);
3609     }
3610   $z = Math::BigInt->new( $x->{sign} . $MBI->_num($z));
3611   $z->as_bin();
3612   }
3613
3614 sub as_oct
3615   {
3616   # return number as octal digit string (only for integers defined)
3617   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),$_[0]) : objectify(1,@_);
3618
3619   return $x->bstr() if $x->{sign} !~ /^[+-]$/;  # inf, nan etc
3620   return '0' if $x->is_zero();
3621
3622   return $nan if $x->{_es} ne '+';              # how to do 1e-1 in hex!?
3623
3624   my $z = $MBI->_copy($x->{_m});
3625   if (! $MBI->_is_zero($x->{_e}))               # > 0 
3626     {
3627     $MBI->_lsft( $z, $x->{_e},10);
3628     }
3629   $z = Math::BigInt->new( $x->{sign} . $MBI->_num($z));
3630   $z->as_oct();
3631   }
3632
3633 sub as_number
3634   {
3635   # return copy as a bigint representation of this BigFloat number
3636   my ($self,$x) = ref($_[0]) ? (ref($_[0]),$_[0]) : objectify(1,@_);
3637
3638   return $x if $x->modify('as_number');
3639
3640   my $z = $MBI->_copy($x->{_m});
3641   if ($x->{_es} eq '-')                 # < 0
3642     {
3643     $MBI->_rsft( $z, $x->{_e},10);
3644     } 
3645   elsif (! $MBI->_is_zero($x->{_e}))    # > 0 
3646     {
3647     $MBI->_lsft( $z, $x->{_e},10);
3648     }
3649   $z = Math::BigInt->new( $x->{sign} . $MBI->_num($z));
3650   $z;
3651   }
3652
3653 sub length
3654   {
3655   my $x = shift;
3656   my $class = ref($x) || $x;
3657   $x = $class->new(shift) unless ref($x);
3658
3659   return 1 if $MBI->_is_zero($x->{_m});
3660
3661   my $len = $MBI->_len($x->{_m});
3662   $len += $MBI->_num($x->{_e}) if $x->{_es} eq '+';
3663   if (wantarray())
3664     {
3665     my $t = 0;
3666     $t = $MBI->_num($x->{_e}) if $x->{_es} eq '-';
3667     return ($len, $t);
3668     }
3669   $len;
3670   }
3671
3672 1;
3673 __END__
3674
3675 =head1 NAME
3676
3677 Math::BigFloat - Arbitrary size floating point math package
3678
3679 =head1 SYNOPSIS
3680
3681   use Math::BigFloat;
3682
3683   # Number creation
3684   my $x = Math::BigFloat->new($str);    # defaults to 0
3685   my $y = $x->copy();                   # make a true copy
3686   my $nan  = Math::BigFloat->bnan();    # create a NotANumber
3687   my $zero = Math::BigFloat->bzero();   # create a +0
3688   my $inf = Math::BigFloat->binf();     # create a +inf
3689   my $inf = Math::BigFloat->binf('-');  # create a -inf
3690   my $one = Math::BigFloat->bone();     # create a +1
3691   my $mone = Math::BigFloat->bone('-'); # create a -1
3692
3693   my $pi = Math::BigFloat->bpi(100);    # PI to 100 digits
3694
3695   # the following examples compute their result to 100 digits accuracy:
3696   my $cos  = Math::BigFloat->new(1)->bcos(100);         # cosinus(1)
3697   my $sin  = Math::BigFloat->new(1)->bsin(100);         # sinus(1)
3698   my $atan = Math::BigFloat->new(1)->batan(100);        # arcus tangens(1)
3699
3700   my $atan2 = Math::BigFloat->new(  1 )->batan2( 1 ,100); # batan(1)
3701   my $atan2 = Math::BigFloat->new(  1 )->batan2( 8 ,100); # batan(1/8)
3702   my $atan2 = Math::BigFloat->new( -2 )->batan2( 1 ,100); # batan(-2)
3703
3704   # Testing
3705   $x->is_zero();                # true if arg is +0
3706   $x->is_nan();                 # true if arg is NaN
3707   $x->is_one();                 # true if arg is +1
3708   $x->is_one('-');              # true if arg is -1
3709   $x->is_odd();                 # true if odd, false for even
3710   $x->is_even();                # true if even, false for odd
3711   $x->is_pos();                 # true if >= 0
3712   $x->is_neg();                 # true if <  0
3713   $x->is_inf(sign);             # true if +inf, or -inf (default is '+')
3714
3715   $x->bcmp($y);                 # compare numbers (undef,<0,=0,>0)
3716   $x->bacmp($y);                # compare absolutely (undef,<0,=0,>0)
3717   $x->sign();                   # return the sign, either +,- or NaN
3718   $x->digit($n);                # return the nth digit, counting from right
3719   $x->digit(-$n);               # return the nth digit, counting from left 
3720
3721   # The following all modify their first argument. If you want to preserve
3722   # $x, use $z = $x->copy()->bXXX($y); See under L<CAVEATS> for why this is
3723   # necessary when mixing $a = $b assignments with non-overloaded math.
3724  
3725   # set 
3726   $x->bzero();                  # set $i to 0
3727   $x->bnan();                   # set $i to NaN
3728   $x->bone();                   # set $x to +1
3729   $x->bone('-');                # set $x to -1
3730   $x->binf();                   # set $x to inf
3731   $x->binf('-');                # set $x to -inf
3732
3733   $x->bneg();                   # negation
3734   $x->babs();                   # absolute value
3735   $x->bnorm();                  # normalize (no-op)
3736   $x->bnot();                   # two's complement (bit wise not)
3737   $x->binc();                   # increment x by 1
3738   $x->bdec();                   # decrement x by 1
3739   
3740   $x->badd($y);                 # addition (add $y to $x)
3741   $x->bsub($y);                 # subtraction (subtract $y from $x)
3742   $x->bmul($y);                 # multiplication (multiply $x by $y)
3743   $x->bdiv($y);                 # divide, set $x to quotient
3744                                 # return (quo,rem) or quo if scalar
3745
3746   $x->bmod($y);                 # modulus ($x % $y)
3747   $x->bpow($y);                 # power of arguments ($x ** $y)
3748   $x->bmodpow($exp,$mod);       # modular exponentation (($num**$exp) % $mod))
3749   $x->blsft($y, $n);            # left shift by $y places in base $n
3750   $x->brsft($y, $n);            # right shift by $y places in base $n
3751                                 # returns (quo,rem) or quo if in scalar context
3752   
3753   $x->blog();                   # logarithm of $x to base e (Euler's number)
3754   $x->blog($base);              # logarithm of $x to base $base (f.i. 2)
3755   $x->bexp();                   # calculate e ** $x where e is Euler's number
3756   
3757   $x->band($y);                 # bit-wise and
3758   $x->bior($y);                 # bit-wise inclusive or
3759   $x->bxor($y);                 # bit-wise exclusive or
3760   $x->bnot();                   # bit-wise not (two's complement)
3761  
3762   $x->bsqrt();                  # calculate square-root
3763   $x->broot($y);                # $y'th root of $x (e.g. $y == 3 => cubic root)
3764   $x->bfac();                   # factorial of $x (1*2*3*4*..$x)
3765  
3766   $x->bround($N);               # accuracy: preserve $N digits
3767   $x->bfround($N);              # precision: round to the $Nth digit
3768
3769   $x->bfloor();                 # return integer less or equal than $x
3770   $x->bceil();                  # return integer greater or equal than $x
3771
3772   # The following do not modify their arguments:
3773
3774   bgcd(@values);                # greatest common divisor
3775   blcm(@values);                # lowest common multiplicator
3776   
3777   $x->bstr();                   # return string
3778   $x->bsstr();                  # return string in scientific notation
3779
3780   $x->as_int();                 # return $x as BigInt 
3781   $x->exponent();               # return exponent as BigInt
3782   $x->mantissa();               # return mantissa as BigInt
3783   $x->parts();                  # return (mantissa,exponent) as BigInt
3784
3785   $x->length();                 # number of digits (w/o sign and '.')
3786   ($l,$f) = $x->length();       # number of digits, and length of fraction      
3787
3788   $x->precision();              # return P of $x (or global, if P of $x undef)
3789   $x->precision($n);            # set P of $x to $n
3790   $x->accuracy();               # return A of $x (or global, if A of $x undef)
3791   $x->accuracy($n);             # set A $x to $n
3792
3793   # these get/set the appropriate global value for all BigFloat objects
3794   Math::BigFloat->precision();  # Precision
3795   Math::BigFloat->accuracy();   # Accuracy
3796   Math::BigFloat->round_mode(); # rounding mode
3797
3798 =head1 DESCRIPTION
3799
3800 All operators (including basic math operations) are overloaded if you
3801 declare your big floating point numbers as
3802
3803   $i = new Math::BigFloat '12_3.456_789_123_456_789E-2';
3804
3805 Operations with overloaded operators preserve the arguments, which is
3806 exactly what you expect.
3807
3808 =head2 Canonical notation
3809
3810 Input to these routines are either BigFloat objects, or strings of the
3811 following four forms:
3812
3813 =over 2
3814
3815 =item *
3816
3817 C</^[+-]\d+$/>
3818
3819 =item *
3820
3821 C</^[+-]\d+\.\d*$/>
3822
3823 =item *
3824
3825 C</^[+-]\d+E[+-]?\d+$/>
3826
3827 =item *
3828
3829 C</^[+-]\d*\.\d+E[+-]?\d+$/>
3830
3831 =back
3832
3833 all with optional leading and trailing zeros and/or spaces. Additionally,
3834 numbers are allowed to have an underscore between any two digits.
3835
3836 Empty strings as well as other illegal numbers results in 'NaN'.
3837
3838 bnorm() on a BigFloat object is now effectively a no-op, since the numbers 
3839 are always stored in normalized form. On a string, it creates a BigFloat 
3840 object.
3841
3842 =head2 Output
3843
3844 Output values are BigFloat objects (normalized), except for bstr() and bsstr().
3845
3846 The string output will always have leading and trailing zeros stripped and drop
3847 a plus sign. C<bstr()> will give you always the form with a decimal point,
3848 while C<bsstr()> (s for scientific) gives you the scientific notation.
3849
3850         Input                   bstr()          bsstr()
3851         '-0'                    '0'             '0E1'
3852         '  -123 123 123'        '-123123123'    '-123123123E0'
3853         '00.0123'               '0.0123'        '123E-4'
3854         '123.45E-2'             '1.2345'        '12345E-4'
3855         '10E+3'                 '10000'         '1E4'
3856
3857 Some routines (C<is_odd()>, C<is_even()>, C<is_zero()>, C<is_one()>,
3858 C<is_nan()>) return true or false, while others (C<bcmp()>, C<bacmp()>)
3859 return either undef, <0, 0 or >0 and are suited for sort.
3860
3861 Actual math is done by using the class defined with C<with => Class;> (which
3862 defaults to BigInts) to represent the mantissa and exponent.
3863
3864 The sign C</^[+-]$/> is stored separately. The string 'NaN' is used to 
3865 represent the result when input arguments are not numbers, as well as 
3866 the result of dividing by zero.
3867
3868 =head2 C<mantissa()>, C<exponent()> and C<parts()>
3869
3870 C<mantissa()> and C<exponent()> return the said parts of the BigFloat 
3871 as BigInts such that:
3872
3873         $m = $x->mantissa();
3874         $e = $x->exponent();
3875         $y = $m * ( 10 ** $e );
3876         print "ok\n" if $x == $y;
3877
3878 C<< ($m,$e) = $x->parts(); >> is just a shortcut giving you both of them.
3879
3880 A zero is represented and returned as C<0E1>, B<not> C<0E0> (after Knuth).
3881
3882 Currently the mantissa is reduced as much as possible, favouring higher
3883 exponents over lower ones (e.g. returning 1e7 instead of 10e6 or 10000000e0).
3884 This might change in the future, so do not depend on it.
3885
3886 =head2 Accuracy vs. Precision
3887
3888 See also: L<Rounding|Rounding>.
3889
3890 Math::BigFloat supports both precision (rounding to a certain place before or
3891 after the dot) and accuracy (rounding to a certain number of digits). For a
3892 full documentation, examples and tips on these topics please see the large
3893 section about rounding in L<Math::BigInt>.
3894
3895 Since things like C<sqrt(2)> or C<1 / 3> must presented with a limited
3896 accuracy lest a operation consumes all resources, each operation produces
3897 no more than the requested number of digits.
3898
3899 If there is no gloabl precision or accuracy set, B<and> the operation in
3900 question was not called with a requested precision or accuracy, B<and> the
3901 input $x has no accuracy or precision set, then a fallback parameter will
3902 be used. For historical reasons, it is called C<div_scale> and can be accessed
3903 via:
3904
3905         $d = Math::BigFloat->div_scale();               # query
3906         Math::BigFloat->div_scale($n);                  # set to $n digits
3907
3908 The default value for C<div_scale> is 40.
3909
3910 In case the result of one operation has more digits than specified,
3911 it is rounded. The rounding mode taken is either the default mode, or the one
3912 supplied to the operation after the I<scale>:
3913
3914         $x = Math::BigFloat->new(2);
3915         Math::BigFloat->accuracy(5);            # 5 digits max
3916         $y = $x->copy()->bdiv(3);               # will give 0.66667
3917         $y = $x->copy()->bdiv(3,6);             # will give 0.666667
3918         $y = $x->copy()->bdiv(3,6,undef,'odd'); # will give 0.666667
3919         Math::BigFloat->round_mode('zero');
3920         $y = $x->copy()->bdiv(3,6);             # will also give 0.666667
3921
3922 Note that C<< Math::BigFloat->accuracy() >> and C<< Math::BigFloat->precision() >>
3923 set the global variables, and thus B<any> newly created number will be subject
3924 to the global rounding B<immediately>. This means that in the examples above, the
3925 C<3> as argument to C<bdiv()> will also get an accuracy of B<5>.
3926
3927 It is less confusing to either calculate the result fully, and afterwards
3928 round it explicitly, or use the additional parameters to the math
3929 functions like so:
3930
3931         use Math::BigFloat;     
3932         $x = Math::BigFloat->new(2);
3933         $y = $x->copy()->bdiv(3);
3934         print $y->bround(5),"\n";               # will give 0.66667
3935
3936         or
3937
3938         use Math::BigFloat;     
3939         $x = Math::BigFloat->new(2);
3940         $y = $x->copy()->bdiv(3,5);             # will give 0.66667
3941         print "$y\n";
3942
3943 =head2 Rounding
3944
3945 =over 2
3946
3947 =item ffround ( +$scale )
3948
3949 Rounds to the $scale'th place left from the '.', counting from the dot.
3950 The first digit is numbered 1. 
3951
3952 =item ffround ( -$scale )
3953
3954 Rounds to the $scale'th place right from the '.', counting from the dot.
3955
3956 =item ffround ( 0 )
3957
3958 Rounds to an integer.
3959
3960 =item fround  ( +$scale )
3961
3962 Preserves accuracy to $scale digits from the left (aka significant digits)
3963 and pads the rest with zeros. If the number is between 1 and -1, the
3964 significant digits count from the first non-zero after the '.'
3965
3966 =item fround  ( -$scale ) and fround ( 0 )
3967
3968 These are effectively no-ops.
3969
3970 =back
3971
3972 All rounding functions take as a second parameter a rounding mode from one of
3973 the following: 'even', 'odd', '+inf', '-inf', 'zero', 'trunc' or 'common'.
3974
3975 The default rounding mode is 'even'. By using
3976 C<< Math::BigFloat->round_mode($round_mode); >> you can get and set the default
3977 mode for subsequent rounding. The usage of C<$Math::BigFloat::$round_mode> is
3978 no longer supported.
3979 The second parameter to the round functions then overrides the default
3980 temporarily. 
3981
3982 The C<as_number()> function returns a BigInt from a Math::BigFloat. It uses
3983 'trunc' as rounding mode to make it equivalent to:
3984
3985         $x = 2.5;
3986         $y = int($x) + 2;
3987
3988 You can override this by passing the desired rounding mode as parameter to
3989 C<as_number()>:
3990
3991         $x = Math::BigFloat->new(2.5);
3992         $y = $x->as_number('odd');      # $y = 3
3993
3994 =head1 METHODS
3995
3996 Math::BigFloat supports all methods that Math::BigInt supports, except it
3997 calculates non-integer results when possible. Please see L<Math::BigInt>
3998 for a full description of each method. Below are just the most important
3999 differences:
4000
4001 =head2 accuracy
4002
4003         $x->accuracy(5);                # local for $x
4004         CLASS->accuracy(5);             # global for all members of CLASS
4005                                         # Note: This also applies to new()!
4006
4007         $A = $x->accuracy();            # read out accuracy that affects $x
4008         $A = CLASS->accuracy();         # read out global accuracy
4009
4010 Set or get the global or local accuracy, aka how many significant digits the
4011 results have. If you set a global accuracy, then this also applies to new()!
4012
4013 Warning! The accuracy I<sticks>, e.g. once you created a number under the
4014 influence of C<< CLASS->accuracy($A) >>, all results from math operations with
4015 that number will also be rounded.
4016
4017 In most cases, you should probably round the results explicitly using one of
4018 L<round()>, L<bround()> or L<bfround()> or by passing the desired accuracy
4019 to the math operation as additional parameter:
4020
4021         my $x = Math::BigInt->new(30000);
4022         my $y = Math::BigInt->new(7);
4023         print scalar $x->copy()->bdiv($y, 2);           # print 4300
4024         print scalar $x->copy()->bdiv($y)->bround(2);   # print 4300
4025
4026 =head2 precision()
4027
4028         $x->precision(-2);      # local for $x, round at the second digit right of the dot
4029         $x->precision(2);       # ditto, round at the second digit left of the dot
4030
4031         CLASS->precision(5);    # Global for all members of CLASS
4032                                 # This also applies to new()!
4033         CLASS->precision(-5);   # ditto
4034
4035         $P = CLASS->precision();        # read out global precision
4036         $P = $x->precision();           # read out precision that affects $x
4037
4038 Note: You probably want to use L<accuracy()> instead. With L<accuracy> you
4039 set the number of digits each result should have, with L<precision> you
4040 set the place where to round!
4041
4042 =head2 bexp()
4043
4044         $x->bexp($accuracy);            # calculate e ** X
4045
4046 Calculates the expression C<e ** $x> where C<e> is Euler's number.
4047
4048 This method was added in v1.82 of Math::BigInt (April 2007).
4049
4050 =head2 bnok()
4051
4052         $x->bnok($y);              # x over y (binomial coefficient n over k)
4053
4054 Calculates the binomial coefficient n over k, also called the "choose"
4055 function. The result is equivalent to:
4056
4057         ( n )      n!
4058         | - |  = -------
4059         ( k )    k!(n-k)!
4060
4061 This method was added in v1.84 of Math::BigInt (April 2007).
4062
4063 =head2 bpi()
4064
4065         print Math::BigFloat->bpi(100), "\n";
4066
4067 Calculate PI to N digits (including the 3 before the dot). The result is
4068 rounded according to the current rounding mode, which defaults to "even".
4069
4070 This method was added in v1.87 of Math::BigInt (June 2007).
4071
4072 =head2 bcos()
4073
4074         my $x = Math::BigFloat->new(1);
4075         print $x->bcos(100), "\n";
4076
4077 Calculate the cosinus of $x, modifying $x in place.
4078
4079 This method was added in v1.87 of Math::BigInt (June 2007).
4080
4081 =head2 bsin()
4082
4083         my $x = Math::BigFloat->new(1);
4084         print $x->bsin(100), "\n";
4085
4086 Calculate the sinus of $x, modifying $x in place.
4087
4088 This method was added in v1.87 of Math::BigInt (June 2007).
4089
4090 =head2 batan2()
4091
4092         my $y = Math::BigFloat->new(2);
4093         my $x = Math::BigFloat->new(3);
4094         print $y->batan2($x), "\n";
4095
4096 Calculate the arcus tanges of C<$y> divided by C<$x>, modifying $y in place.
4097 See also L<batan()>.
4098
4099 This method was added in v1.87 of Math::BigInt (June 2007).
4100
4101 =head2 batan()
4102
4103         my $x = Math::BigFloat->new(1);
4104         print $x->batan(100), "\n";
4105
4106 Calculate the arcus tanges of $x, modifying $x in place. See also L<batan2()>.
4107
4108 This method was added in v1.87 of Math::BigInt (June 2007).
4109
4110 =head2 bmuladd()
4111
4112         $x->bmuladd($y,$z);             
4113
4114 Multiply $x by $y, and then add $z to the result.
4115
4116 This method was added in v1.87 of Math::BigInt (June 2007).
4117
4118 =head1 Autocreating constants
4119
4120 After C<use Math::BigFloat ':constant'> all the floating point constants
4121 in the given scope are converted to C<Math::BigFloat>. This conversion
4122 happens at compile time.
4123
4124 In particular
4125
4126   perl -MMath::BigFloat=:constant -e 'print 2E-100,"\n"'
4127
4128 prints the value of C<2E-100>. Note that without conversion of 
4129 constants the expression 2E-100 will be calculated as normal floating point 
4130 number.
4131
4132 Please note that ':constant' does not affect integer constants, nor binary 
4133 nor hexadecimal constants. Use L<bignum> or L<Math::BigInt> to get this to
4134 work.
4135
4136 =head2 Math library
4137
4138 Math with the numbers is done (by default) by a module called
4139 Math::BigInt::Calc. This is equivalent to saying:
4140
4141         use Math::BigFloat lib => 'Calc';
4142
4143 You can change this by using:
4144
4145         use Math::BigFloat lib => 'GMP';
4146
4147 Note: The keyword 'lib' will warn when the requested library could not be
4148 loaded. To suppress the warning use 'try' instead:
4149
4150         use Math::BigFloat try => 'GMP';
4151
4152 To turn the warning into a die(), use 'only' instead:
4153
4154         use Math::BigFloat only => 'GMP';
4155
4156 The following would first try to find Math::BigInt::Foo, then
4157 Math::BigInt::Bar, and when this also fails, revert to Math::BigInt::Calc:
4158
4159         use Math::BigFloat lib => 'Foo,Math::BigInt::Bar';
4160
4161 See the respective low-level library documentation for further details.
4162
4163 Please note that Math::BigFloat does B<not> use the denoted library itself,
4164 but it merely passes the lib argument to Math::BigInt. So, instead of the need
4165 to do:
4166
4167         use Math::BigInt lib => 'GMP';
4168         use Math::BigFloat;
4169
4170 you can roll it all into one line:
4171
4172         use Math::BigFloat lib => 'GMP';
4173
4174 It is also possible to just require Math::BigFloat:
4175
4176         require Math::BigFloat;
4177
4178 This will load the necessary things (like BigInt) when they are needed, and
4179 automatically.
4180
4181 See L<Math::BigInt> for more details than you ever wanted to know about using
4182 a different low-level library.
4183
4184 =head2 Using Math::BigInt::Lite
4185
4186 For backwards compatibility reasons it is still possible to
4187 request a different storage class for use with Math::BigFloat:
4188
4189         use Math::BigFloat with => 'Math::BigInt::Lite';
4190
4191 However, this request is ignored, as the current code now uses the low-level
4192 math libary for directly storing the number parts.
4193
4194 =head1 EXPORTS
4195
4196 C<Math::BigFloat> exports nothing by default, but can export the C<bpi()> method:
4197
4198         use Math::BigFloat qw/bpi/;
4199
4200         print bpi(10), "\n";
4201
4202 =head1 BUGS
4203
4204 Please see the file BUGS in the CPAN distribution Math::BigInt for known bugs.
4205
4206 =head1 CAVEATS
4207
4208 Do not try to be clever to insert some operations in between switching
4209 libraries:
4210
4211         require Math::BigFloat;
4212         my $matter = Math::BigFloat->bone() + 4;        # load BigInt and Calc
4213         Math::BigFloat->import( lib => 'Pari' );        # load Pari, too
4214         my $anti_matter = Math::BigFloat->bone()+4;     # now use Pari
4215
4216 This will create objects with numbers stored in two different backend libraries,
4217 and B<VERY BAD THINGS> will happen when you use these together:
4218
4219         my $flash_and_bang = $matter + $anti_matter;    # Don't do this!
4220
4221 =over 1
4222
4223 =item stringify, bstr()
4224
4225 Both stringify and bstr() now drop the leading '+'. The old code would return
4226 '+1.23', the new returns '1.23'. See the documentation in L<Math::BigInt> for
4227 reasoning and details.
4228
4229 =item bdiv
4230
4231 The following will probably not print what you expect:
4232
4233         print $c->bdiv(123.456),"\n";
4234
4235 It prints both quotient and reminder since print works in list context. Also,
4236 bdiv() will modify $c, so be careful. You probably want to use
4237         
4238         print $c / 123.456,"\n";
4239         print scalar $c->bdiv(123.456),"\n";  # or if you want to modify $c
4240
4241 instead.
4242
4243 =item brsft
4244
4245 The following will probably not print what you expect:
4246
4247         my $c = Math::BigFloat->new('3.14159');
4248         print $c->brsft(3,10),"\n";     # prints 0.00314153.1415
4249
4250 It prints both quotient and remainder, since print calls C<brsft()> in list
4251 context. Also, C<< $c->brsft() >> will modify $c, so be careful.
4252 You probably want to use
4253
4254         print scalar $c->copy()->brsft(3,10),"\n";
4255         # or if you really want to modify $c
4256         print scalar $c->brsft(3,10),"\n";
4257
4258 instead.
4259
4260 =item Modifying and =
4261
4262 Beware of:
4263
4264         $x = Math::BigFloat->new(5);
4265         $y = $x;
4266
4267 It will not do what you think, e.g. making a copy of $x. Instead it just makes
4268 a second reference to the B<same> object and stores it in $y. Thus anything
4269 that modifies $x will modify $y (except overloaded math operators), and vice
4270 versa. See L<Math::BigInt> for details and how to avoid that.
4271
4272 =item bpow
4273
4274 C<bpow()> now modifies the first argument, unlike the old code which left
4275 it alone and only returned the result. This is to be consistent with
4276 C<badd()> etc. The first will modify $x, the second one won't:
4277
4278         print bpow($x,$i),"\n";         # modify $x
4279         print $x->bpow($i),"\n";        # ditto
4280         print $x ** $i,"\n";            # leave $x alone 
4281
4282 =item precision() vs. accuracy()
4283
4284 A common pitfall is to use L<precision()> when you want to round a result to
4285 a certain number of digits:
4286
4287         use Math::BigFloat;
4288
4289         Math::BigFloat->precision(4);           # does not do what you think it does
4290         my $x = Math::BigFloat->new(12345);     # rounds $x to "12000"!
4291         print "$x\n";                           # print "12000"
4292         my $y = Math::BigFloat->new(3);         # rounds $y to "0"!
4293         print "$y\n";                           # print "0"
4294         $z = $x / $y;                           # 12000 / 0 => NaN!
4295         print "$z\n";
4296         print $z->precision(),"\n";             # 4
4297
4298 Replacing L<precision> with L<accuracy> is probably not what you want, either:
4299
4300         use Math::BigFloat;
4301
4302         Math::BigFloat->accuracy(4);            # enables global rounding:
4303         my $x = Math::BigFloat->new(123456);    # rounded immediately to "12350"
4304         print "$x\n";                           # print "123500"
4305         my $y = Math::BigFloat->new(3);         # rounded to "3
4306         print "$y\n";                           # print "3"
4307         print $z = $x->copy()->bdiv($y),"\n";   # 41170
4308         print $z->accuracy(),"\n";              # 4
4309
4310 What you want to use instead is:
4311
4312         use Math::BigFloat;
4313
4314         my $x = Math::BigFloat->new(123456);    # no rounding
4315         print "$x\n";                           # print "123456"
4316         my $y = Math::BigFloat->new(3);         # no rounding
4317         print "$y\n";                           # print "3"
4318         print $z = $x->copy()->bdiv($y,4),"\n"; # 41150
4319         print $z->accuracy(),"\n";              # undef
4320
4321 In addition to computing what you expected, the last example also does B<not>
4322 "taint" the result with an accuracy or precision setting, which would
4323 influence any further operation.
4324
4325 =back
4326
4327 =head1 SEE ALSO
4328
4329 L<Math::BigInt>, L<Math::BigRat> and L<Math::Big> as well as
4330 L<Math::BigInt::BitVect>, L<Math::BigInt::Pari> and  L<Math::BigInt::GMP>.
4331
4332 The pragmas L<bignum>, L<bigint> and L<bigrat> might also be of interest
4333 because they solve the autoupgrading/downgrading issue, at least partly.
4334
4335 The package at L<http://search.cpan.org/~tels/Math-BigInt> contains
4336 more documentation including a full version history, testcases, empty
4337 subclass files and benchmarks.
4338
4339 =head1 LICENSE
4340
4341 This program is free software; you may redistribute it and/or modify it under
4342 the same terms as Perl itself.
4343
4344 =head1 AUTHORS
4345
4346 Mark Biggar, overloaded interface by Ilya Zakharevich.
4347 Completely rewritten by Tels L<http://bloodgate.com> in 2001 - 2006, and still
4348 at it in 2007.
4349
4350 =cut